在透视这道题之前，先用一道小题来练练手

密码锁（这道题是我根据魔法阵改的）

Description

叮当在探索迷宫时被一扇大门挡住了去路，门上刻画了很多乱七八糟的数字，门被锁上了，无法打开，但是门上给出了提示：

1：正确按下门上的三个数字即可打开大门；

2：这三个数必须满足递增排列按下；

3：后两个数之差比前两个数之差的8倍还要大。

现在叮当想知道一共有多少种可能的情况来确定开门时间(对于门上不同位置的相同数字算不同的情况)。

Format

Input

第一行一个正整数n表示门上的数字（3<=n<=10000）。

第二行为n个正整数，表示每个数的值x（1<=x<=10000）。

Output

密码的可能情况。

Samples

Sample Input 1

11
2 2 3 3 4 4 4 13 13 13 13

Sample Output 1

40

Limitation

(2,3,13)共16种

(3,4,13)共24种

一共40种可能情况

对于30%的数据，3<=n<=500,1<=x<=500;

对于60%的数据，3<=n<=1500,x<=1500;

对于100%的数据，3<=n<=10000,1<=x<=10000;

思路

该题的本质就是选择三个数a,b,c，要求满足：

a<b<c，并且8*(b-a)<c-b很容易想到依次枚举a,b,c，由于是从小到大，我们可以把数组排序后，依次枚举，然后判断是否满足上面条件，时间复杂度为O(n^3)。

由于我们枚举的数可能不满足第二个条件，即枚举了很多无效的答案，所以效率很低，那么我们是 否可以保证我们在枚举的时候a,b,c, 一定就满足两个条件呢？

我们可以枚举a，然后枚举t=b-a，那么得到b的值 为a+t,可以计算出c的最小值为a+9*t+1。

如果按照这种方法枚举，那么我们的枚举方法就 不再是依次枚举每一个数了，因为我们没有办法直 接知道a+9*t+1到底是哪一个数。 那么我们可以换一种方法，枚举值，数的范围是 (1,10000),那么我们可以直接枚举1-10000，每个数 不止一种，先统计每种数的数量，再用到乘法原理 ，把a,b,c三个数的数量相乘。 在枚举的时候注意a,b,c的范围，尽量保证没有无 效的枚举，为了方便，其实我们可以先枚举t=b-a, 再枚举a，这样t的范围是[1,9*t+2<=m],a的范围是 [1,m-9*t-1],可以再枚举大的值k，k的范围是 [1,a+9*t+k<=m],而c=a+9*t+k。

这种枚举的方法，保证了枚举的所有数都是满足 题目给定条件的，时间复杂度相对于暴力枚举a,b,c 提高了81倍左右。

但是上述做法仍然不是该题的正解，该题的正解需要 用到继承种的单调性。 比如3 4 100满足条件，那么2 3 100,1 3 100是 不是仍然满足条件，也就是说，对于较大的a和b， 存在x个满足条件的c，那么对于比当前a,b小的情况 ，得到满足条件的c的个数y，那么实际上总的满足 条件的情况c一共有x+y个。 所以我们可以从大到小枚举a，累加当前情况下的 c的数量，当下一次枚举a的时候，答案为当前答案 加上前面的累加和，这样我们就没有必要再去枚举大于这个条件了，省去了一层循环。

ACcode

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int num[10100],maxn=INT_MIN;
int main(){
    int n,tmp;
    cin>>n;
    for (int i=0;i<n;i++){
    	cin>>tmp;
    	num[tmp]++;
    	maxn=max(maxn,tmp);
	}
	long long cnt=0;
    for (int t=1;9*t+2<=maxn;t++){
    	int s=0;
    	for (int a=maxn-9*t-1;a>=1;a--){
    		int b=a+t,c=b+8*t+1;
    		s+=num[c];
    		cnt+=num[a]*num[b]*s; 
		}
	} 
    cout<<cnt;
	return 0;
}

这时候就有人问了，密码锁跟魔法阵有什么关系呢？

别慌，我们先把魔法阵的题目看了。

题目背景

NOIP2016 普及组 T4

题目描述

六十年一次的魔法战争就要开始了，大魔法师准备从附近的魔法场中汲取魔法能量。

大魔法师有 m 个魔法物品，编号分别为 1,2,…,m。每个物品具有一个魔法值，我们用 Xi​ 表示编号为 i 的物品的魔法值。每个魔法值 Xi​ 是不超过 n 的正整数，可能有多个物品的魔法值相同。

大魔法师认为，当且仅当四个编号为 a,b,c,d 的魔法物品满足 Xa​<Xb​<Xc​<Xd​,Xb​−Xa​=2(Xd​−Xc​)，并且Xb​−Xa​<(Xc​−Xb​)/3 时，这四个魔法物品形成了一个魔法阵，他称这四个魔法物品分别为这个魔法阵的 A 物品，B 物品，C 物品，D 物品。

现在，大魔法师想要知道，对于每个魔法物品，作为某个魔法阵的 A 物品出现的次数，作为 B 物品的次数，作为 C 物品的次数，和作为 D 物品的次数。

输入格式

第一行包含两个空格隔开的正整数 n,m。

接下来 m 行，每行一个正整数，第 i+1 行的正整数表示 Xi​，即编号为 i 的物品的魔法值。

保证 1≤n≤15000,1≤m≤40000,1≤Xi≤n。每个 Xi​ 是分别在合法范围内等概率随机生成的。

输出格式

共 m 行，每行 4 个整数。第 i 行的 4 个整数依次表示编号为 i 的物品作 为 A,B,C,D 物品分别出现的次数。

保证标准输出中的每个数都不会超过 10^9。每行相邻的两个数之间用恰好一个空格隔开。

样例 #1

样例输入 #1

30 8
1
24
7
28
5
29
26
24

样例输出 #1

4 0 0 0
0 0 1 0
0 2 0 0
0 0 1 1
1 3 0 0
0 0 0 2
0 0 2 2
0 0 1 0

样例 #2

样例输入 #2

15 15
1 
2 
3 
4 
5
6 
7 
8 
9
10
11
12
13
14
15

样例输出 #2

5 0 0 0
4 0 0 0
3 5 0 0
2 4 0 0
1 3 0 0
0 2 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 2 1
0 0 3 2
0 0 4 3
0 0 5 4
0 0 0 5

提示

【样例解释 1】

共有 5 个魔法阵，分别为：

物品 1,3,7,6，其魔法值分别为 1,7,26,29

物品 1,5,2,7，其魔法值分别为 1,5,24,26

物品 1,5,7,4，其魔法值分别为 1,5,26,28

物品 1,5,8,7，其魔法值分别为 1,5,24,26

物品 5,3,4,6，其魔法值分别为 5,7,28,29

以物品 5 为例，它作为 A 物品出现了 1 次，作为 B 物品出现了 3 次，没有作为 C 物品或者 D 物品出现，所以这一行输出的四个数依次为 1,3,0,0。

此外，如果我们将输出看作一个 m 行 4 列的矩阵，那么每一列上的 m 个数之和都应等于魔法阵的总数。所以，如果你的输出不满足这个性质，那么这个输出一定不正确。你可以通过这个性质在一定程度上检查你的输出的正确性。

【数据规模】

读完题后你看哈，密码锁是要求按下三个数字，且有两个要求，即枚举三个数字，而魔法阵是要求四个魔法物品的值满足三个要求，是不是差不多的呢，

先魔改一下这三个要求

设t=xd−xc

所以②可化为xb−xa=2t ④

将④代入③

2t<(xc−xb)/3

移项一下，就变成

6t<xc−xb ⑤

再魔改一下

设6t+k=xc−xb（就是把差的部分补上去）

所以就有了这个图：

 既然有了这个图，那是不是就可以按照密码锁的套路来枚举了呢？只不过是要先枚举t，再在t的循环内正着枚举D和倒着枚举A就可以了。

首先由上图易得t的范围是1<=t<=(n-1)/9，并且还可以得到C=D-t。因为让A,B,C,D满足条件的最小的k是1，所以就有A=D-9t-1,B=D-7t-1；

其次就要看枚举D和枚举A的范围，首先是D：由上图可知D的max是n，而最小值则是当k=1且A=1的时候，所以D的最小值为9∗t+2，再小是无法组成魔法阵的。然后是A：A的最小值显然是1，最大值则是在D取到最大值，也就是n的时候，所以A的最大值就是n-9t-1。

范围知道了，那就直接求不就完了？所以这道题是非常非常简单的啦

ACcode

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

LL sum[41000],maxn=INT_MIN;
LL cmp[41000];
LL a[15100],b[15100],c[15100],d[15100];
int main(){
    int m,n;
    cin>>m>>n;
    for (int i=0;i<n;i++){
    	cin>>cmp[i];
    	sum[cmp[i]]++;
    	maxn=max(maxn,cmp[i]);
	}
    for (int t=1;9*t+1<=m;t++){
    	LL s=0;
		for (int d1=9*t+2;d1<=m;d1++){
			int c1=d1-t,b1=c1-6*t-1,a1=b1-2*t;
			s+=sum[a1]*sum[b1];
			d[d1]+=s*sum[c1];
			c[c1]+=s*sum[d1];
		}//
		s=0;
    	for (int a1=m-9*t-1;a1>=1;a1--){
    		int b1=a1+2*t,c1=b1+6*t+1,d1=c1+t;
    		s+=sum[d1]*sum[c1];
    		a[a1]+=s*sum[b1];
    		b[b1]+=s*sum[a1];
		}//
	}
	for (int i=0;i<n;i++){
		cout<<a[cmp[i]]<<" "<<b[cmp[i]]<<" "<<c[cmp[i]]<<" "<<d[cmp[i]]<<endl;
	}
	return 0;
}

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