1 Delta 函数

连续信号可以分解为缩放和移位的增量函数，就像处理离散信号一样。不同之处在于，连续 delta 函数比其离散函数复杂得多，在数学上也抽象得多。我们不是用它是什么来定义连续 delta 函数，而是用它所具有的特征来定义它。

一个思想实验将展示它是如何工作的。想象一下一个由线性元件组成的电子电路，例如电阻器、电容器和电感器。连接到输入端的是一个信号发生器，可产生各种形状的短脉冲。电路的输出连接到示波器，显示电路响应每个输入脉冲产生的波形。我们要回答的问题是：**输出脉冲的形状与输入脉冲的特性有什么关系？**为了简化研究，将只使用比输出短得多的输入脉冲。例如，如果系统在毫秒内响应，可能只使用几微秒长度的输入脉冲。

经过多次测量，得出三个结论：

• 第一，输入脉冲的形状不影响输出信号的形状。如图13-1所示，其中各种形状的短输入脉冲产生完全相同的输出脉冲形状。
• 其次，输出波形的形状完全由系统的特性决定，即电阻、电容和电感的值和配置。
• 第三，输出脉冲的幅度与输入脉冲的面积成正比。例如，输入的输出幅度相同：1 伏 1 微秒，10 伏 0.1 微秒，1,000 伏 1 纳秒等。这种关系还允许具有负区域的输入脉冲。例如，想象一下持续 2 微秒的 2 伏脉冲与持续 4 微秒的 -1 伏脉冲的组合。输入信号的总面积为零，导致输出不执行任何操作。

足够短以具有这三个属性的输入信号称为脉冲。换句话说，脉冲是任何完全为零的信号，除了任意形状的短暂闪光。例如，微波发射器的脉冲可能必须在皮秒范围内，因为电子设备以纳秒为单位做出响应。

数学家不喜欢被任何特定的系统所限制，他们通常使用“脉冲”一词来表示足够短的信号，可以成为任何可能系统的脉冲。也就是说，信号是无限窄的。连续增量函数是这种脉冲的归一化版本。具体来说，连续增量函数在数学上由三个理想化特征定义：

• （1）信号必须是无穷小的
• （2）脉冲必须在时间零处出现
• （3）脉冲的面积必须为1

由于 delta 函数被定义为无穷小窄且具有固定面积，因此幅度隐含为无穷大。delta 函数是一种数学结构，而不是现实世界的信号。现实世界中充当增量函数的信号将始终具有有限的持续时间和幅度。

就像在离散情况下一样，连续 delta 函数被赋予数学符号：δ()。同样，连续系统响应 delta 函数的输出称为脉冲响应，通常用 h() 表示。请注意，括号 () 用于表示连续信号，而括号 [] 用于表示离散信号。脉冲在图形中显示为垂直箭头（见图13-1d），箭头的长度表示脉冲的面积。

2 卷积

图 13-2 显示了如何从输入端查看卷积。输入信号 x(t) 通过以脉冲响应 h(t) 为特征的系统，以产生输出信号 y(t)。这可以用熟悉的数学方程式 *y(t)=x(t)h(t) 来写。输入信号被分成几列，每列都足够短，可以作为系统的脉冲。换言之，输入信号被分解为无限数量的缩放和移位增量函数。这些脉冲中的每一个都会在输出信号中产生脉冲响应的缩放和移位版本。然后，最终输出信号等于组合效应，即所有单个响应的总和。

要使此方案起作用，列的宽度必须比系统的响应短得多。当然，数学家们将这一点发挥到了极致，使输入段无限窄，将情况变成了微积分问题。以这种方式，输入视点描述了输入信号中的单个点（或狭窄区域）如何影响输出信号的较大部分。

相比之下，输出视点检查输出信号中的单个点如何由输入信号的各种值确定。与离散信号一样，输出信号中的每个瞬时值都受到输入信号的一部分的影响，该部分由左右翻转的脉冲响应加权。在离散情况下，信号相乘和求和。在连续情况下，信号相乘和积分。在方程式形式中：

该方程称为卷积积分，是用于离散信号的卷积和的孪生方程。图 13-3 显示了如何理解这个方程。目标是找到一个表达式，用于计算任意时间输出信号的值。

• 第一步是改变用于在输入信号和脉冲响应中移动的自变量。这使得 x(t) 和 h(t) 分别变为 x（τ） 和 h（τ）。需要更改变量名称，因为变量名称已用于表示正在计算的输出信号中的点。
• 下一步是将脉冲响应从左翻转为右，将其转换为** h（-τ）**。将翻转的脉冲响应转移到位置，导致表达式变为 h（-τ）。
• 然后，输入信号通过将两者相乘，即x(τ)h(-τ) 对翻转和移位的脉冲响应进行加权。
• 然后通过将加权输入信号从负无穷大到正无穷大积分来找到输出信号的值。

一个例子将说明连续卷积如何在现实世界的问题和所需的数学中使用。图13-4显示了一个简单的连续线性系统：由单个电阻和单个电容组成的电子低通滤波器。如图所示，进入该系统的脉冲产生的输出会迅速跃升至某个值，然后呈指数衰减至零。换句话说，这个简单电子电路的脉冲响应是单侧指数。从数学上讲，该系统的脉冲响应分为两部分，每部分由一个方程表示：

其中 α=1/RC（R 以欧姆为单位，C 以法拉为单位，以秒为单位）。就像在离散情况下一样，连续脉冲响应包含有关系统的完整信息，即它将如何对所有可能的信号做出反应。为了进一步研究这个例子，图13-5显示了进入系统的方波，在数学上表示为：

由于输入信号和脉冲响应都是完全已知的数学表达式，因此输出信号 y(t) 可以通过计算方程 13-1 的卷积积分来计算。由于两个信号都是由区域而不是单个信号数学表达式定义的，因此情况变得复杂。

这在连续信号处理中很常见。通常必须绘制一张图片，说明两个信号在不同的值下如何相互移动。在本例中，图 13-6a 显示两个信号完全不重叠。这意味着两个信号在 τ 轴上所有位置的乘积为零，得到的输出信号为：

第二种情况如 (b) 所示，其中介于 0 和 1 之间。这里，两个信号部分重叠，导致它们的乘积具有介于 τ=0 和 τ=t之间的非零值。由于这是唯一的非零区域，因此它是唯一需要计算积分的部分。这提供了 0≤t≤1 的输出信号，由下式给出：

图（c）显示了输出信号第三部分的计算，其中 t>1。这里重叠发生在 τ=0 和 τ=1 之间，使计算与第二段相同，只是积分极限发生了变化：

这三个段中每个段的波形都应符合电子学知识：

• （1）输出信号必须为零，直到输入信号变为非零。也就是说，对于 t<0，第一段由 y(t)=0 给出。
• （2）当步进发生时，RC 电路呈指数增长以匹配输入，根据公式：$y(t)=1-e^{-\alpha t}$
• （3）当输入返回零时，输出呈指数衰减至零，由下式给出：$y(t)=k{e}^{-\alpha t}$ （其中 $k=e^{\alpha }-1$，放电开始前电容器上的电压）。

可以用同样的方式处理更复杂的波形，尽管数学复杂性会迅速变得难以管理。一种常见的策略是将其中一个信号分解为可以单独卷积的更简单的加法组件。利用线性原理，可以添加生成的波形以找到原始问题的答案。

图 13-7 显示了另一种策略：以某种线性方式修改其中一个信号，执行卷积，然后撤消原始修改。在这个例子中，修改是导数，它通过取积分来撤消。单位幅度平方脉冲的导数是两个脉冲，第一个脉冲的面积为 1，第二个的面积为负 1。要理解这一点，请考虑取两个脉冲积分的相反过程。当积分超过第一个脉冲时，积分会迅速从零增加到一，即阶跃函数。通过负脉冲后，信号的积分迅速从1返回零，完成方波脉冲。

采用导数可以简化这个问题，因为当其中一个信号由脉冲组成时，卷积很容易。x’(t) 中的两个脉冲中的每一个都贡献了脉冲响应输出信号的导数 y’(t) 的缩放和移位版本。即，通过检查可以知道：y’(t)=h(t)-h(t-1)。然后，可以通过插入 h(t) 的精确方程并对表达式进行积分来找到输出信号 y(t)。

在这个过程中，当取导数时，输入信号的直流值会丢失。这可能导致计算输出信号的直流值出现误差。数学将其反映为在积分过程中可以添加的任意常数。没有系统的方法来识别这个错误，但通常可以通过检查问题来纠正它。例如，在图 13-7 的示例中没有 DC 错误。这是已知的，因为计算出的输出信号在变得非常大时具有正确的直流值。如果特定问题中存在误差，则手动将适当的直流项添加到输出信号中以完成计算。

这种方法也适用于可以通过多次取导数来简化为脉冲的信号。在该领域的行话中，这些信号称为分段多项式。卷积后，通过取多个积分来撤消多个导数的初始操作。唯一的问题是，必须通过找到正确的积分常数来找到每个阶段丢失的 DC 值。

在开始一个困难的连续卷积问题之前，你应该考虑另一种方法。问问自己一个问题：输出信号是否真的需要数学表达式，还是波形图就足够了？ 如果一个图是足够的，最好用离散技术来处理这个问题。也就是说，通过计算机程序可以直接卷积的样本来近似连续信号。虽然在数学上不那么纯粹，但它可以容易得多。

3 傅里叶变换

连续信号的傅里叶变换分为两类，一类用于周期性信号，一类用于非周期性信号。周期信号使用傅里叶变换的一个版本，称为傅里叶级数(Fourier Series)。用于非周期信号的傅里叶变换简称为傅里叶变换。

图 13-8 显示了连续非周期信号及其频谱的示例。时域信号从负无穷大延伸到正无穷大，而每个频域信号从零延伸到正无穷大。该频谱以矩形形式显示（实部和虚部）；然而，极性形式（幅度和相位）也用于连续信号。与离散情况一样，综合方程描述了使用频域数据构建时域信号的方法。以数学形式：

换句话说，时域信号是通过添加（使用积分）无限数量的缩放正弦波和余弦波形成的。频域的实部由余弦波的比例因子组成，而虚部由正弦波的比例因子组成。与离散信号一样，合成方程通常用负正弦波来写。频率由小写符号 ω 表示。这种表示法称为固有频率，单位为弧度/秒，即 ω=2πf，其中 f 是以每秒周期数（赫兹）为单位的频率。

连续信号的分析方程遵循与离散情况相同的策略：与正弦波和余弦波的相关性。这些方程式是：

作为使用分析方程的示例，我们将找到RC低通滤波器的频率响应。这是通过采用其脉冲响应的傅里叶变换来完成的，如图 13-4 所示，并由下式描述：

通过将脉冲响应代入分析方程来找到频率响应。首先，实数部分：

接着，虚数部分：

就像离散信号一样，频域的矩形表示非常适合数学操作，但人类难以理解。这种情况可以通过转换为具有标准关系的极性符号来补救：$MagH(\omega )=[ReH({\omega }^2)+ImH({\omega }^2){]}^{1/2}$ 和 $PhaseH(\omega )=arctan[ReH(\omega )/ImH(\omega )]$。通过代数工作，RC低通滤波器的频率响应为幅度和相位（即极性形式）：

图 13-9 显示了截止频率为 1000 赫兹（即 α=2π1000）时的这些曲线图。

4 傅里叶级数

这就把我们带到了傅里叶变换家族的最后一个成员：傅里叶级数。傅里叶级数中使用的时域信号是周期性和连续性的。

图 13-10 显示了从负无穷大到正无穷大重复的连续波形的几个示例。周期信号具有由谐波组成的频谱。例如，如果时域以 1000 赫兹重复，则频谱将包含 1000 赫兹的一次谐波、2000 赫兹的二次谐波、3000 赫兹的三次谐波，依此类推。第一次谐波，即时域重复的频率，也称为基频。

这意味着可以通过两种方式查看频谱：

• 频谱是连续的，但在除谐波以外的所有频率上都为零，
• 频谱是离散的，并且仅在谐波频率处定义。换句话说，谐波之间的频率可以被认为是具有零值，或者根本不存在。重要的一点是，它们对时域信号的形成没有贡献。

傅里叶级数综合方程通过添加频率为：f、2f、3f、4f 等的比例余弦波和正弦波来创建具有基频的连续周期信号。余弦波的振幅保持在变量中：$a_1、a_2、a_3、a_4$ 等，而正弦波的振幅保持在：$b_1、b_2、b_3、b_4$ 等。换句话说，“a”和“b”系数分别是频谱的实部和虚部。此外，系数 $a_0$ 用于保持时域波形的 DC 值。这可以看作是零频率（恒定值）的余弦波的振幅。有时与其他“a”系数分组，但通常单独处理，因为它需要特殊计算。没有 $b_0$ 系数，因为频率为零的正弦波的常数为零，并且毫无用处。综合方程写成：

傅里叶级数的相应分析方程通常用波形的周期来表示，用 T 表示，而不是基频(其中f=1/T)。由于时域信号是周期性的，因此只需要在单个周期内评估正弦波和余弦波的相关性，即 -T/2 到 T/2、0 到 T、-T 到 0 等。选择不同的极限会使数学不同，但最终的答案总是一样的。傅里叶级数分析方程为：

图 13-11 显示了使用这些方程计算傅里叶级数的示例。正在分析的时域信号是一个脉冲序列，一个高低持续时间不相等的方波。在从 -T/2 到 T/2 的单个周期内，波形由下式给出：

因此，波形的占空比（脉冲“高”的时间分数）由 d=k/T 给出。傅里叶级数系数可以通过计算方程 13-5 来找到。首先，找到 DC 分量，一个 $a_0$ ：

这个结果应该很直观；直流分量只是信号的平均值。类似的分析提供了“a”系数：

“b”系数的计算方式相同；但是，它们都为零。换句话说，该波形可以仅使用余弦波构建，而不需要正弦波。

如果时域波形向左或向右移动，“a”和“b”系数将发生变化。例如，仅当其中一个脉冲以 t=0 为中心时，本例中的“b”系数才为零。如果波形是偶数（即在 t=0 附近对称），它将仅由偶数正弦波组成，即余弦波。这使得所有“b”系数都等于零。如果波形为奇数（即对称但符号相反，约为 t=0），它将由奇数正弦波组成，即正弦波。这导致“a”系数为零。如果将系数转换为极性符号（例如，$M_n$ 和 ${\theta }_n$ 系数），则时域中的偏移会使幅度保持不变，但会在相位上增加线性分量。

为了完成这个例子，假设电子电路中存在一个脉冲串，频率为 1 kHz，振幅为1 V，占空比为0.2。图 13-12 中的表格提供了该波形中包含的每个谐波的幅度。图 13-12 还显示了仅使用这些谐波中的前 14 个谐波的波形合成。即使有这么多的谐波，重建也不是很好。用数学术语来说，傅里叶级数收敛得非常慢。这只是另一种说法，即时域波形中的锐边导致频谱中的频率非常高。最后，一定要注意锋利边缘处的过冲。