算法沉淀——BFS 解决拓扑排序
- 01.课程表
- 02.课程表 II
- 03.火星词典
Breadth-First Search (BFS) 在拓扑排序中的应用主要是用来解决有向无环图（DAG）的拓扑排序问题。拓扑排序是对有向图中所有节点的一种线性排序，使得对于每一条有向边 (u, v)，节点 u 在排序中都出现在节点 v 的前面。如果图中存在环路，则无法进行拓扑排序。
BFS 解决拓扑排序的步骤如下：
- 统计每个节点的入度（in-degree），即指向该节点的边的数量。
- 将所有入度为 0 的节点加入队列。
- 对于每个入度为 0 的节点，依次出队，更新其相邻节点的入度，将入度变为 0 的节点加入队列。
- 重复步骤 3 直到队列为空。
如果最终遍历过的节点数等于图中的节点数，说明图是有向无环图，可以得到一个拓扑排序。
01.课程表
题目链接：https://leetcode.cn/problems/course-schedule/
你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。
在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则 必须 先学习课程 bi 。
- 例如，先修课程对
[0, 1]表示：想要学习课程0，你需要先完成课程1。
请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。
示例 1：
输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：true
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0 。这是可能的。
示例 2：
输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]
输出：false
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成课程 0 ；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1 。这是不可能的。
提示：
1 <= numCourses <= 20000 <= prerequisites.length <= 5000prerequisites[i].length == 20 <= ai, bi < numCoursesprerequisites[i]中的所有课程对 互不相同
思路
这里我们可以采用容器模拟邻接矩阵或者邻接表来进行拓扑排序，判断这个图是否有环的方式来解决这个问题
代码
class Solution {
public:
bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
unordered_map<int,vector<int>> edges;
vector<int> in(numCourses,0);
for(vector<int>& e:prerequisites){
int a=e[0],b=e[1];
edges[b].push_back(a);
in[a]++;
}
queue<int> q;
for(int i=0;i<numCourses;++i)
if(in[i]==0) q.push(i);
while(!q.empty()){
int t=q.front();
q.pop();
for(int e:edges[t]){
in[e]--;
if(in[e]==0) q.push(e);
}
}
for(int i:in) if(i) return false;
return true;
}
};
- 使用一个哈希表
edges存储有向图的边，其中edges[b]表示节点b指向的所有节点。 - 使用数组
in记录每个节点的入度。初始化时，将所有节点的入度设为 0。 - 遍历先修课程的关系，构建有向图并更新入度数组。
- 将入度为 0 的节点加入队列
q。 - 使用 BFS 进行拓扑排序，从入度为 0 的节点开始，依次出队，并将其邻接节点的入度减 1。如果邻接节点的入度减为 0，将其加入队列。
- 如果最终所有节点的入度都为 0，说明图中不存在环，可以完成所有课程，返回
true；否则，返回false。
02.课程表 II
题目链接：https://leetcode.cn/problems/course-schedule-ii/
现在你总共有 numCourses 门课需要选，记为 0 到 numCourses - 1。给你一个数组 prerequisites ，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示在选修课程 ai 前 必须 先选修 bi 。
- 例如，想要学习课程
0，你需要先完成课程1，我们用一个匹配来表示：[0,1]。
返回你为了学完所有课程所安排的学习顺序。可能会有多个正确的顺序，你只要返回 任意一种 就可以了。如果不可能完成所有课程，返回 一个空数组 。
示例 1：
输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：[0,1]
解释：总共有 2 门课程。要学习课程 1，你需要先完成课程 0。因此，正确的课程顺序为 [0,1] 。
示例 2：
输入：numCourses = 4, prerequisites = [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]]
输出：[0,2,1,3]
解释：总共有 4 门课程。要学习课程 3，你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。
因此，一个正确的课程顺序是 [0,1,2,3] 。另一个正确的排序是 [0,2,1,3] 。
示例 3：
输入：numCourses = 1, prerequisites = []
输出：[0]
思路
总体思路和上面一致，我们只需要在每次将入度为0的点顺序保存即为拓扑排序的顺序。
代码
class Solution {
public:
vector<int> findOrder(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
unordered_map<int,vector<int>> edges;
vector<int> in(numCourses,0);
for(vector<int>& e:prerequisites){
int a=e[0],b=e[1];
edges[b].push_back(a);
in[a]++;
}
queue<int> q;
vector<int> ret;
for(int i=0;i<numCourses;++i)
if(in[i]==0){
q.push(i);
ret.push_back(i);
}
while(!q.empty()){
int t=q.front();
q.pop();
for(int e:edges[t]){
in[e]--;
if(in[e]==0){
q.push(e);
ret.push_back(e);
}
}
}
for(int i:in) if(i) return {};
return ret;
}
};
- 使用一个哈希表
edges存储有向图的边，其中edges[b]表示节点b指向的所有节点。 - 使用数组
in记录每个节点的入度。初始化时，将所有节点的入度设为 0。 - 遍历先修课程的关系，构建有向图并更新入度数组。
- 将入度为 0 的节点加入队列
q，同时将这些节点加入结果数组ret中。 - 使用 BFS 进行拓扑排序，从入度为 0 的节点开始，依次出队，并将其邻接节点的入度减 1。如果邻接节点的入度减为 0，将其加入队列和结果数组。
- 如果最终所有节点的入度都为 0，说明图中不存在环，返回拓扑排序结果；否则，返回空数组表示无法完成拓扑排序
03.火星词典
题目链接：https://leetcode.cn/problems/Jf1JuT
现有一种使用英语字母的外星文语言，这门语言的字母顺序与英语顺序不同。
给定一个字符串列表 words ，作为这门语言的词典，words 中的字符串已经 按这门新语言的字母顺序进行了排序 。
请你根据该词典还原出此语言中已知的字母顺序，并 按字母递增顺序 排列。若不存在合法字母顺序，返回 "" 。若存在多种可能的合法字母顺序，返回其中 任意一种 顺序即可。
字符串 s 字典顺序小于 字符串 t 有两种情况：
- 在第一个不同字母处，如果
s中的字母在这门外星语言的字母顺序中位于t中字母之前，那么s的字典顺序小于t。 - 如果前面
min(s.length, t.length)字母都相同，那么s.length < t.length时，s的字典顺序也小于t。
示例 1：
输入：words = ["wrt","wrf","er","ett","rftt"]
输出："wertf"
示例 2：
输入：words = ["z","x"]
输出："zx"
示例 3：
输入：words = ["z","x","z"]
输出：""
解释：不存在合法字母顺序，因此返回 "" 。
提示：
1 <= words.length <= 1001 <= words[i].length <= 100words[i]仅由小写英文字母组成
思路
将题意搞清楚之后，这道题就变成了判断有向图时候有环，可以用拓扑排序解决。
如何搜集信息（如何建图）：
a. 两层for循环枚举出所有的两个字符串的组合；
b. 然后利用指针，根据字典序规则找出信息。
- 使用哈希表
edges存储字母之间的顺序关系，其中edges[a]表示字母a后面可以跟随的字母集合。 - 使用哈希表
in记录每个字母的入度，即有多少字母在它之前。 - 使用布尔变量
cheak标记是否出现了无效的字母顺序。 - 定义
add函数，该函数比较两个单词s1和s2，找到它们第一个不相同的字母，然后将这个字母的顺序关系添加到edges中。如果s2是s1的前缀，则将cheak设置为true。 - 在构建字母之间的顺序关系时，遍历相邻的两个单词，调用
add函数，如果cheak为true，则直接返回空字符串。 - 使用队列
q存储入度为 0 的字母，初始化队列时将所有入度为 0 的字母加入。 - 使用
BFS进行拓扑排序，不断将入度为 0 的字母出队，并将其后面可以跟随的字母的入度减 1。将入度为 0 的字母加入结果字符串ret中。 - 最后检查所有字母的入度是否都为 0，如果不为 0，则说明有环，返回空字符串；否则，返回结果字符串
ret。
代码
class Solution {
unordered_map<char,unordered_set<char>> edges;
unordered_map<char,int> in;
bool cheak=false;
void add(string& s1,string& s2){
int n=min(s1.size(),s2.size());
int i=0;
while(i<n){
if(s1[i]!=s2[i]){
char a=s1[i],b=s2[i];
if(!edges.count(a)||!edges[a].count(b)){
edges[a].insert(b);
in[b]++;
}
break;
}
i++;
}
if(i==s2.size()&&i<s1.size()) cheak=true;
}
public:
string alienOrder(vector<string>& words) {
for(auto& s:words)
for(auto& ch:s)
in[ch]=0;
int n=words.size();
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=i+1;j<n;j++){
add(words[i],words[j]);
if(cheak) return "";
}
queue<char> q;
for(auto& [a,b]:in)
if(b==0) q.push(a);
string ret;
while(!q.empty()){
char t=q.front();
q.pop();
ret+=t;
for(char ch:edges[t])
if(--in[ch]==0) q.push(ch);
}
for(auto& [a,b]:in) if(b) return "";
return ret;
}
};
