一条 $n$ 次贝塞尔曲线可以表示为
$$C(u)=\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}(u)P_i,0\le u\le 1\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中，基函数（也称为混合函数） { B i , n ( u ) } \{B_{i,n}(u)\} {Bi,n​(u)} 是著名的 $n$ 次 Bernstein 多项式，其定义为
$$B_{i,n}(u)=\frac{n!}{i!(n-i)!}{u}^i(1-u{)}^{n-i}\text{\hspace{1em}(2)}$$

式（1）中的几何系数 { P i } \{\pmb P_i\} {Pi​} 称为控制点。

例1. 当 $n=1$ 时，由（2）式有 $B_{0,1}(u)=1-u$ 和 $B_{1,1}(u)=u$，由（1）式可得 $C(u)=(1-u)P_0+u{P}_1$，这是一段由 $P_0$ 到 $P_1$ 的直线段。

例2. 当 $n=2$ 时，由（1）式和（2）式可得 $C(u)=(1-u{)}^2{P}_0+2u(1-u)P_1+u^2{P}_2$，这是一段由 $P_0$ 到 $P_1$ 的抛物线弧。

例3. 当 $n=3$ 时，我们有 $C(u)=(1-u{)}^3{P}_0+3u(1-u{)}^2{P}_1+3u^2(1-u)P_2+u^3{P}_3$

我们注意到：

• 由 { P 0 , P 1 , P 2 , P 3 } \{\pmb P_0,\pmb P_1,\pmb P_2,\pmb P_3\} {P0​,P1​,P2​,P3​} 形成的多边形，称为控制多边形，很好地逼近了曲线的形状。
• 曲线在两个端点处的切方向分别平行于控制多边形的始末两条直线。

基函数 { B i , n ( u ) } \{B_{i,n}(u)\} {Bi,n​(u)} 的一条重要性质（递推定义）：$$B_{i,n}(u)=(1-u)B_{i,n-1}(u)+u{B}_{i-1,n-1}(u)\text{\hspace{1em}(3)}$$这里我们规定当 $i<0$ 或 $i>n$ 时，$B_{i,n}\equiv 0$。

例4. 由（2）式可得 $B_{0,0}(0)=1$。由（3）式，一次和二次 Bernstein 多项式是
$$\begin{array}{rl}{B}_{0,1}(u)& =(1-u)B_{0,0}(u)+u{B}_{-1,0}(u)=1-u\\ B_{1,1}(u)& =(1-u)B_{1,0}(u)+u{B}_{0,0}(u)=u\\ B_{0,2}(u)& =(1-u)B_{0,1}(u)+u{B}_{-1,1}(u)=(1-u{)}^2\\ B_{1,2}(u)& =(1-u)B_{1,1}(u)+u{B}_{0,1}(u)=2u(1-u)\\ B_{2,2}(u)& =(1-u)B_{2,1}(u)+u{B}_{1,1}(u)=u^2\end{array}$$

由式（3）可以得到当 $u$ 固定时计算 Bernstein 多项式值的算法 AllBernstein()

def AllBernstein(n, u):
    """
    计算所有 n+1 个 n 次 Bernstein 多项式在固定点 u 处的值
    输入：n, u
    输出：B
    """
    B = np.zeros(n + 1)
    B[0] = 1.0
    for i in range(1, n + 1):
        saved = 0.0
        for j in range(i):
            temp = B[j]
            B[j] = saved + (1.0 - u) * temp
            saved = u * temp
        B[i] = saved
    return B

综合利用式（1）和算法 AllBernstein() 可以计算对某个固定的 $u$ ，$n$ 次贝塞尔曲线上的点。

def PointOnBezierCurve(P, n, u):
    """
    计算对某个固定的 u，n 次贝塞尔曲线上的点
    输入：P, n, u
    输出：C (一个点)
    """
    B = AllBernstein(n, u)
    C = 0.0
    for i in range(n + 1):
        C = C + B[i] * P[i]
    return C

用 $C_n(P_0,\cdots ,P_n)$ 表示由控制点 $P_0,\cdots ,P_n$ 定义的 $n$ 次贝塞尔曲线，我们有
$$C_n(P_0,\cdots ,P_n)=(1-u)C_{n-1}(P_0,\cdots ,P_{n-1})+u{C}_{n-1}(P_1,\cdots ,P_n)\text{\hspace{1em}(4)}$$

固定 $u=u_0$，并且记 $P_{0,i}=P_i$，由（4）式可以得到计算 $n$ 次贝塞尔曲线上的点 $C(u_0)=P_{n,0}(u_0)$ 的一个递推算法，即
$$P_{k,i}(u_0)=(1-u_0)P_{k-1,i}(u_0)+u_0{P}_{k-1,i+1}(u_0),i=0,1,\cdots ,n-k;k=1,2,\cdots ,n\text{\hspace{1em}(5)}$$

式（5）称为 deCasteljau 算法

def deCasteljau(P, n, u):
    """
    利用 deCasteljau 算法计算贝塞尔曲线上的点
    输入：P, n, u
    输出：C(一个点)
    """
    Q = P.copy()
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(n - i + 1):
            Q[j] = (1.0 - u) * Q[j] + u * Q[j + 1]
    return Q[0]

贝塞尔曲线求导的一般公式
$$\begin{array}{rl}{C}^{\prime }(u)& =\frac{\mathrm{d}({\sum }_{i=0}^n{B}_{i,n}(u)P_i)}{\mathrm{d}u}=\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}^{\prime }(u)P_i\\ & =\sum _{i=0}^{n}n(B_{i-1,n-1}(u)-B_{i,n-1}(u)P_i)\\ & =n\sum _{i=0}^{n-1}{B}_{i,n-1}(u)(P_{i+1}-P_i)\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

由（6）式容易得到贝塞尔曲线在两个端点处导矢的公式
$$\begin{array}{rl}& C^{\prime }(0)=n(P_1-P_0)C^{\prime \prime }(0)=n(n-1)(P_2-2P_1+P_0)\\ & C^{\prime }(1)=n(P_n-P_{n-1})C^{\prime \prime }(1)=n(n-1)(P_n-2P_{n-1}+P_{n-2})\end{array}$$