模运算
模运算是大数运算中的常用操作。如果一个数太大，无法直接输出，或者不需要直接输出，则可以对它取模，缩小数值再输出。取模可以防止溢出，这是常见的操作。
模是英文mod的音译，取模实际上是求余。
取模运算一般要求a和m的符号一致，即都为正数或都为负数。如果正负不同，那么请小心处理。
取模操作的加、减、乘满足分配律，注意此时仍要求a+b、a−b、a×b为正数，如果有负数，请小心处理。
例题1.刷题统计
2022年（第十三届）省赛，lanqiaoOJ题号2098
这题用暴力法很好解，但是只能拿到60的测试数据，差不多对一半吧。
暴力法代码：
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
// 请在此输入您的代码
long long a,b,n; //要用long long
cin >> a >> b >> n;
long long sum = 0,day = 0; //定义做题数和天数
while(sum < n){
day++;
if(day % 7 == 6 || day % 7 == 0) sum+=b;//周六周日
else sum+=a;//周一到周五
}
cout << day;
return 0; //暴力法通过60，后面运行超时，这个是意料之中的。
}放在取模题中，这也是一道取模的简单题，利用取模操作把计算复杂度降为O(1)。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
long long a,b,n;
cin >> a >> b >> n;
long long sum=5*a+2*b;//一周总数
long long day=7*(n/sum);//总数除以一周总数乘以一周7天
n=n%sum;//剩余题目
long long d[]={a,a,a,a,a,b,b},i;//设立周数组
for(i=0;n>0;i++)
{
//当n=0时，就已经满足大于等于n，这个时候的天数就是答案
n-=d[i];
day++;
}
cout << day;
return 0;
}快速幂
int fastPow(int a, int n) { //快速幂
int ans = 1; //用ans返回结果，初始化为1，不能初始化为0
while(n) { //把n看成二进制数，逐个处理它的最后一位
if(n & 1) ans *= a; //如果n的最后一位是1，则表示这个地方需要参与计算
a *= a; //递推：a2 --> a4 --> a8--> a16-->…
n >>= 1; //n右移一位，把刚处理过的n的最后一位去掉
}
return ans; //结果
}
例题1.快速幂
套模板即可，代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll; //变量改用较大的long long型
ll fastPow(ll a, ll n, ll mod) {
ll ans = 1;
a %= mod; //非常重要，防止下面的ans*a越界
while(n) {
if(n & 1) ans = (ans*a) % mod; //取模
a = a*a % mod; //取模
n >>= 1;
}
return ans; //输出结果
}
int main() {
ll b,p,k;
cin>>b>>p>>k;
cout << fastPow(b,p,k);
return 0;
}矩阵乘法
矩阵的加减法很简单，把两个矩阵对应位置的元素进行加减即可得到结果。
矩阵乘法：
for(int i=1; i<=m; i++) //注：i、j、k的先后顺序不重要，因为对于c[][]来说都一样
for(int j=1; j<=u; j++)
for(int k=1; k<=n; k++)
c[i][j] += a[i][k] * b[k][j]);根据矩阵乘法的定义，可以推出下面两个式子。
例题1.矩阵相乘
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100;
int n,m,k;
int A[N][N],B[N][N],C[N][N];
int multi(int u, int v) {
int sum = 0;
for (int j=0; j<m; j++) sum += (A[u][j] * B[j][v]);
return sum;
}
int main() {
cin >> n >> m >> k;
for(int i=0; i<n; i++)
for(int j=0; j<m; j++) cin >> A[i][j];
for(int i=0; i<m; i++)
for(int j=0; j<k; j++) cin >> B[i][j];
for(int i=0; i<n; i++)
for(int j=0; j<k; j++) C[i][j] = multi(i, j);
for(int i=0; i<n; i++) {
for(int j=0; j<k; j++) cout << C[i][j] << " ";
cout << endl;
}
return 0;
}GCD和LCM
最大公约数(Greatest Common Divisor，GCD)和最小公倍数(the Least Common Multiple，LCM)。
编程时可以不用自己写GCD代码，而是直接使用库函数。
C++的库函数__gcd()。
__gcd(); //shift + -，输出_ 注意是两个下划线，所以要操作两次shift+-
库函数__gcd()可能会返回负数，见下面的例子。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
cout<<__gcd(15, 81)<< endl; //输出 3
cout<<__gcd(0, 44)<< endl; //输出 44
cout<<__gcd(0, 0)<< endl; //输出 0
cout<<__gcd(-6, -15)<< endl; //输出 -3
cout<<__gcd(-17,289)<< endl; //输出 -17
cout<<__gcd(17,-289)<< endl; //输出 17
return 0;
}LCM：
gcd(a, b)×lcm(a, b) = a×b，即lcm(a, b) = a×b/gcd(a, b) =a/gcd(a, b) ×b。
例题1.等差数列
解析：
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100000];
int main() {
int n;
cin>>n;
for(int i=0; i<n; i++) cin>>a[i];
sort(a,a+n);
int d=0;
for(int i=1; i<n; i++) d = __gcd(d,a[i]-a[i-1]); //以{2，5，7}为例
if(d==0) cout<<n<<endl; //公差为0，直接输出n就行
else printf("%d\n",(a[n - 1] - a[0]) / d + 1);
return 0;
}
