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一、线性规划问题

1.概述

线性规划(Linear Programming, LP) 是解决最优化问题的工具之一，也是运筹学的重要分支。

运筹学(Operations Research) 是一门研究人类对各种广义资源的运用及筹划活动的新兴学科，其目的在于了解和发现这种运用及筹划活动的基本规律，以便更有效发挥有限资源的效益，从而达到总体或全局有效或平衡的目标。

1947年，美国数学家G.B.Dantzig及其同事提出了求解线性规划的单纯形法及其有关理论，为线性规划这一学科的建立奠定了理论基础。1979年苏联数学家哈奇扬的椭球算法和1984年美籍印度数学家H.Karmarkar算法的相继问世，使得线性规划的理论更加完备、成熟，实用领域更加宽广。

线性规划涉及的实际问题多种多样，包括生产计划问题、物资运输问题、合理下料问题、库存问题、劳动力问题、最优设计问题等，这些问题虽然出自不同的行业，有着不同的实际背景，但都是属于如何计划、安排、调度的问题，即如何物尽其用、人尽其才的问题。

2.三要素

最优化问题往往具有三个基本要素，即决策变量、目标函数和约束条件，也被称为优化模型的三要素。

1. 决策变量：是决策者可以控制的因素，在规划模型中，用一组决策变量来表示某一方案或措施，即描述所要做出的决策，可由决策者决定和控制。例如根据不同的实际问题，决策变量可以选为药品或器械的产量、医疗物资的运量及工作的天数等。
2. 目标函数：是以函数形式来表示决策者追求的目标，表示决策者希望实现的目标。按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化，在前面加上max或min来表示，目标函数也是衡量方案优劣的标准。例如目标可以是利润最大或成本最小等。对于线性规划，目标函数要求是线性的。
3. 约束条件：是决策变量需要满足的限定条件，通常表示为一组含有决策变量的等式或不等式，是决策方案可行的保障。对于线性规划，约束条件是一组线性等式或不等式。

二、示例：药厂生产问题

假设一家药厂可以生产两种药品，称为“药品A”和“药品B”。

生产每种药品都需要材料和劳动力。销售每种药品都会产生收入。

所需单位材料和劳动力投入，以及收入如下表所示：

	药品A	药品B
材料	2	5
劳动	4	2
收入	3	4

一家药厂药构建一个生产计划，使用 30 个单位的材料和 20 个单位的劳动力，以使其收入最大化。该问题可以表述为：

$$\begin{array}{cl}{\max }_{x_1,x_2}& z=3x_1+4x_2\\ \text{ subject to }& 2x_1+5x_2\le 30\\ & 4x_1+2x_2\le 20\\ & x_1,x_2\ge 0\end{array}$$

三、使用 Python 绘图求解线性规划问题

1.绘制约束条件

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
ax.grid()

ax.hlines(0, -1, 17.5)
ax.vlines(0, -1, 12)
ax.plot(np.linspace(-1, 17.5, 100), 6-0.4*np.linspace(-1, 17.5, 100), color="c")
ax.plot(np.linspace(-1, 5.5, 100), 10-2*np.linspace(-1, 5.5, 100), color="c")
ax.text(1.5, 8, "$2x_1 + 5x_2 \leq 30$", size=12)
ax.text(10, 2.5, "$4x_1 + 2x_2 \leq 20$", size=12)
ax.text(-2, 2, "$x_2 \geq 0$", size=12)
ax.text(2.5, -0.7, "$x_1 \geq 0$", size=12)

2.绘制可行域

feasible_set = Polygon(np.array([[0, 0],
                                 [0, 6],
                                 [2.5, 5],
                                 [5, 0]]),
                       color="cyan")
ax.add_patch(feasible_set)

3.绘制目标函数

ax.plot(np.linspace(-1, 5.5, 100), 3.875-0.75*np.linspace(-1, 5.5, 100), color="orange")
ax.plot(np.linspace(-1, 5.5, 100), 5.375-0.75*np.linspace(-1, 5.5, 100), color="orange")
ax.plot(np.linspace(-1, 5.5, 100), 6.875-0.75*np.linspace(-1, 5.5, 100), color="orange")
ax.arrow(-1.6, 5, 0, 2, width = 0.05, head_width=0.2, head_length=0.5, color="orange")
ax.text(5.7, 1, "$z = 3x_1 + 4x_2$", size=12)

4.绘制最优解

ax.plot(2.5, 5, "*", color="black")
ax.text(2.7, 5.2, "Optimal Solution", size=12)

plt.show()

绘制图像如下：

• 其中，蓝色区域是满足所有约束条件的可行域。
• 平行的橙色线是收入线。
• 药厂的目标即找到平行的橙色线以达到可行域的上边界。
• 可行域与最高橙色线的交点就是最优集合。在此示例中，最优集合是点 。

四、使用 scipy.optimize 软件包求解线性规划问题

scipy.optimize 软件包提供了 linprog 函数来求解线性规划问题，形式如下：

$$\begin{array}{cl}{\min }_x& c^{\prime }x\\ \text{ subject to }& A_{ub}x\le b_{ub}\\ & A_{eq}x=b_{eq}\\ & l\le x\le u\end{array}$$

原示例可转化为以下等同的标准形式：

$$\begin{array}{rl}\underset{x_1,x_2}{\min }& -\left(3x_1+4x_2\right)\\ \text{ subject to }& 2x_1+5x_2+s_1=30\\ & 4x_1+2x_2+s_2=20\\ & x_1,x_2,s_1,s_2\ge 0\end{array}$$

1.导入库

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Polygon

2.输入目标函数参数和约束条件

• 对于每个不等式约束，生成一个松弛变量。
• 松弛变量的向量是一个二维 NumPy 数组。

# 目标函数参数
c_ex1 = np.array([3, 4])

# 约束条件
A_ex1 = np.array([[2, 5],
                  [4, 2]])
b_ex1 = np.array([30,20])

3.求解

# 求解
res_ex1 = linprog(-c_ex1, A_ub=A_ex1, b_ub=b_ex1)

res_ex1

输出结果如下：

        message: Optimization terminated successfully. (HiGHS Status 7: Optimal)
        success: True
         status: 0
            fun: -27.5
              x: [ 2.500e+00  5.000e+00]
            nit: 2
          lower:  residual: [ 2.500e+00  5.000e+00]
                 marginals: [ 0.000e+00  0.000e+00]
          upper:  residual: [       inf        inf]
                 marginals: [ 0.000e+00  0.000e+00]
          eqlin:  residual: []
                 marginals: []
        ineqlin:  residual: [ 0.000e+00  0.000e+00]
                 marginals: [-6.250e-01 -4.375e-01]
 mip_node_count: 0
 mip_dual_bound: 0.0
        mip_gap: 0.0

最优方案为：药厂生产 2.5 个单位的药品A 和 5 个单位的药品B，这产生了 27.5 的最大收入值。

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参考文献

1. https://scipy.org/
2. J. N. Bertsimas, D. & Tsitsiklis. Introduction to linear optimization. Athena Scientific, 1997.