力扣精选算法100道——矩阵区域和 (前缀和专题）

🎈了解题意

🎈算法原理

🎈实现代码

🎈了解题意

给定一个大小为 m x n 的矩阵 mat 和一个整数 k，你需要计算一个新的矩阵 answer，其中每个 answer[i][j] 表示矩阵 mat 中以坐标 (i, j) 为中心、边长为 2*k+1 的正方形区域内所有元素的和。

换句话说，对于每个答案元素 ret[i][j]，其值是由以 mat[i][j] 为中心、边长为 2*k+1 的正方形区域内的所有元素之和组成的。以每个元素为中心的大小为 (2k+1)*(2k+1) 的子矩阵的元素之和。

mat是一个二维矩阵（三行三列）

k=1的意思是每个下标对应的值向外都扩展1个单位，将扩展1个单位后包含的所有数字都加起来，就是最终的结果(还是该下标）

就像图中所展现的一样，1的位置开始向外扩展k个单位，就是绿色包围的地方，超过的范围区域不记，剩下的是2，4，5，1(这里需要加上1），相加的结果是12，所以ret结果数组的第一行第一列的数字是12.

按照这种方法我们依次扩展k个单位，再依次相加就得到ret数组。

🎈算法原理

我们首先需要预处理一个前缀和，将每个子区间的前缀和进行计算，但是我们需要知道，上一篇的二维前缀和是从1开始，而我们这一题是从0开始的，但是我们预处理前缀和依旧是设定m+1行n+1列，初始化为0.

i和j都是从1开始的。

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]+arr[i-1][j-1]-dp[i-1][j-1];

本题都是从1开始的，所以我们要减去加上那个数，需要将i，j都减1，我们打个比方我们要加上下标[0][20],但是本题是从1开始，那么对应的i=1 j=1,我们要加上对应的值的话，我们需要将i-1,j-1.否则会导致结果不对。

这行代码声明了一个名为 dp 的二维 vector，其大小为 (m+1) x (n+1)。其中，dp[i][j] 表示矩阵中以 (i, j) 为右下角顶点的子矩阵的和。这样的声明方式初始化了一个大小为 (m+1) x (n+1) 的二维 vector，并将其中的每个元素初始化为 0。

然后我们来使用前缀和，我们需要的区间在横坐标的区间是i-k到i+k，纵坐标是j-k到j+k

如果我们出现了下面的情况呢？

我们看到(i-k,j-k)越过了0，又或者(i+k,j+k)越过了(m,n),所以我们要在(i-k,j-k)（0,0)取大值，在(i+k,j+k),(m,n)取小值，我们要防止越界情况。

注意，如果正方形区域的边界超出了矩阵的边界，则超出的部分将被视为 0 处理。

x1=i-k max(0,i-k) +1 x2=i+k min(i+k,m)+1

y1=j-k max(0,j-k) +1 y2=j+k min(j+k,n)+1

求（x1,y1)到（x2,y2)区间的前缀和

这里为什么+1呢？dp代表前缀和，他是从1开始的，那么如果我们要算某个特定区间的前缀和，我们需要将区间+1，因为本题的mat数组下标从0开始。

最后我们就使用得出特定区间的前缀和

ret数组依旧是m行n列的初始化为0。

ret[i][j]=dp[x2][y2]-dp[x1-1][y2]-dp[x2][y1-1]+dp[x1-1][y1-1];

🎈实现代码

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k) {
        int m=mat.size(),n=mat[0].size();
        //1.预处理一个前缀和矩阵
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1]+mat[i-1][j-1];
            }
        }
        //使用
        vector<vector<int>> ret(m,vector<int>(n));
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                int x1=max(0,i-k)+1,y1=max(0,j-k)+1;
                int x2=min(m-1,i+k)+1,y2=min(n-1,j+k)+1;
                ret[i][j]=dp[x2][y2]-dp[x1-1][y2]-dp[x2][y1-1]+dp[x1-1][y1-1];
            }
        }
        return ret;
    }
};