一、树

树形结构，非线性结构。

树是n个节点的有限集合。

树的定义是递归的。

1-1、树的基本概念

1、结点的度：一个结点的子树个数。

2、树的度：树中最大的结点的度数。

3、叶子结点：度为0的结点。

4、分支结点：度不为0的结点。

5、树的高度（深度）：一棵树的最大层数。

1-2、树的性质

性质1：树中的结点总数 = 树中所有结点的度数之和 + 1

出题格式：

已知，度为1的结点个数为n1；度为2的结点个数为n2；度为3的结点个数为n3，求度为0的结点个数。

性质2：度为 m 的树中第i层上至多有 m^(i-1)个结点(i >= 1)。

性质3：高度为h的m次树，至多有个结点。（等比数列求和）

性质4：具有n个结点、度为m的树的最小高度为：

要求树的高度最小、需要每个结点的度都是m。即 n = 

注意：

要取上界！！！

1-3、真题

真题1：

真题2：

注意：

        这种类型的题目可以直接画个示图，举例子算。

二、二叉树

2-1、二叉树的定义

二叉树是n个结点的有限集合。

二叉树可以是空树。

二叉树、树的区别：

二叉树中结点的子树要区分左子树和右子树。

二叉树结点最大的度=2。

2-2、二叉树的性质

性质1：二叉树第i层上最多有2^(i-1)个结点；

树的性质：度为 m 的树中第i层上至多有 m^(i-1)个结点(i >= 1)。

性质2：高度为h的二叉树最多有个结点。

树的性质：高度为h的m次树，至多有个结点。（等比数列求和）

性质3：对于任何一个二叉树，度为0的结点数 = 度为2的结点数 + 1；

n0 = n2 + 1

树的性质： 树中的结点总数 = 树中所有结点的度数之和 + 1

性质4：具有n个结点的完全二叉树的高度为：

树的性质： 具有n个结点、度为m的树的最小高度为：

2-3、满二叉树、完全二叉树

2-3-1、满二叉树

高度为k的二叉树有2^k-1个结点。

2-3-2、完全二叉树

对满二叉树中的结点连续编号，自上而下，自左而右，每一个结点与满二叉树中的序号一一对应。

完全二叉树的特点：

• 高度为h的完全二叉树中，除了第h层（最后一层），其余各层都是满的；
• 第h层上的结点必须是从左到右的依次放置，不能为空。

完全二叉树的性质：

 性质4：具有n个结点的完全二叉树的高度为：

 2-4、真题

真题1：

真题2：

n0 = n2 + 1 

真题3：

真题4：

真题5：

真题6：

计算n个结点的二叉树有多少种，可以用： 

真题7：

2-5、二叉树的存储结构

2-5-1、二叉树的顺序存储

用一组地址连续的存储单元存储二叉树中的结点，结点在这个序列中的相应位置能反映出节点之间的逻辑关系。

依据二叉树的性质，完全二叉树和满二叉树采用顺序存储比较合适，树中结点的序号可以唯一地反映出结点之间的逻辑关系。

 对于一般的二叉树，只有增添一些并不存在的空结点，使之成为一棵完全二叉树的形式，然后再用一维数组顺序存储。会造成空间的大量浪费，不宜用顺序存储结构。 

最坏的情况是右单支树。

从一个结点的编号——>双亲、左孩子、右孩子

 

2-5-2、二叉树的链式存储

二叉链表的结点：

 

二叉链表，有n个结点，就有2n个指针域；有n-1个分支，就有n-1个有效指针域；

所以，二叉链表，n个结点，有n+1个空指针域。

三叉链表的结点：

三叉链表，n个结点，有n+2个空指针域。

2-5-3、真题

真题1：

 

真题2：

真题3：

真题4：

2-6、二叉树的遍历

1、先序遍历

根节点、左子树、右子树

A  B  D  G  C  E  F

2、中序遍历

左子树、根节点、右子树

B  D  G  A  E  C  F

3、后序遍历

左子树、右子树、根节点

G  D  B  E  F  C  A

4、层次遍历

从上到下、从左到右的访问结点。

A  B  C  D  E  F  G

 

2-7、根据遍历序列构造二叉树

4种遍历，单独看，都不能唯一确定一个二叉树。

其中最重要的是：中序遍历：左子树、根节点、右子树

1、先序遍历 + 中序遍历

从先序中得到每个子树的根节点（第一个节点），在中序中用根节点，划分出左右子树。

2、后序遍历 + 中序遍历

从后序中得到每个子树的根节点（最后一个节点），在中序中用根节点，划分出左右子树。

3、层次遍历 + 中序遍历

 

4、真题

真题1：

构造一个二叉树，中序序列一定要有！！！

真题2：

真题3：

真题4：

 

真题5：

真题6：