数据结构之堆排序

对于几个元素的关键字序列{K₁，K₂，…，K_n}，当且仅当满足下列关系时称其为堆，其中 2i 和2i+1应不大于n。
${\huge \{}^{K_i≤K_{2i}} _{K_i≤K_{2i+1}} \quad\quad 或 \quad\quad {\huge \{}^{K_i≥K_{2i}} _{K_i≥K_{2i+1}}$
若将此序列对应的一维数组(即以一维数组作为序列的存储结构)看成是一个完全二叉树，则堆的含义表明，完全二叉树中所有非终端结点的值均不小于(或不大子) 其左、右孩子,结点的值。因此，在一个堆中，堆顶元素(即完全二义树的根结点)必为序列中的最大元素(或最小元素)，并且堆中的任一棵子树也都是堆。若堆顶为最小元素，则称为小根堆；若堆顶为最大元素，则称为大根堆。
推排序的基本思想是：对一组待排序记录的关键字，首先按堆的定义排成一个序列(即建立初始堆)，从而可以输出堆项的最大关键字(对于大根堆而言)，然后将剩余的关键字再调整成新堆，便得到次大的关键字，如此反复，直到全部关键字排成有序序列为止。
初始堆的建立方法是：将待排序的关键字分放到一棵完全二叉树的各个结点中(此时完全二叉树并不一定具备堆的特性)，显然，所有 i> $[\frac n2]$ 的结点 K_i 都没有子结点，以这样的 K_i 为根的子树已经是堆，因此初始建堆可从完全二叉树的第 i {i= $[\frac n2]$ } 个结点 K_i 开始，通过调整，逐步使以K[ $\frac n2$ ]、K[ $\frac n2$ ]-1、K[ $\frac n2$ ]-2、…、K₂、K₁为根的子树满足堆的定义。
在对K_i 为根的子树建堆的过程中，可能需要交换 K_i 与K_2i 或(K_2i+1)的值，如此一来，以K_2i(或K_2i+i)为根的子树可能不再满足堆的定义，则应继续以 K_2i(或K_2i+1)为根进行调整。如此层层地递推下去，可能会一直延伸到叶子结点时为止。这种方法就像过筛子一样，把最大(或最小)的关键字一层一层地筛选出来，最后输出堆顶的最大(或最小) 元素。
【函数】将一个整型数组中的元素调整成大根堆。

void HeapAdjust(int data[], int s, int m)
/*在 data[s..m]所构成的一个元素序列中，除了 data[s]外，其余元素均满足大顶堆的定义*/
/*调整元素 data[s]的位置，使 data[s..m]成为一个大顶堆*/
{
	int tmp,j;
	tmp = data[s];							/*备份元素 data[s]，为其找到适当位置后再插入*/
	for(j= 2*s+1; j<=m; j=j*2+1){			/*沿值较大的孩子结点向下筛选*/
		if(j<m && data[j]<data[j+1]) ++j;	/*j是值较大的元素的下标*/
		if(tmp>=data[i]) break;
		data[s] = data[jl; s =j;			/*用s记录待插入元素的位置 (下标) */
	}/*for*/
	data[s]=tmp;							/*将备份元素插入由 s 所指出的插入位置*/
}/*HeapAdjust*/

调整成新堆：假设输出堆顶元素之后，以堆中最后一个元素替代，那么根结点的左、右子树均为堆，此时只需自上至下进行调整即可。
【函数】用堆排序方法对整型数组进行非递减排序。

void HeapSort(int data[], int n)		/*数组 data[0..n-1]中的n个元素进行堆排序*/
{
	inti;
	int tmp;
	for(i = n/2-1; i>=0; --i)			/*将 data[0..n-1]调整为大根堆*/
	HeapAdjust(data, i, n-1);
	for(i= n-l; i>0; --i){
		tmp=data[0]; data[0]=data[i];
		data[i] = tmp;					/*堆顶元素 data[0]与序列末的元素 data[i]交换*/
		HeapAdjust(data,0,i-1);			/*待排元素的个数减 1，将 data[0..i-1]重新调整为大根堆*/
	}/*for*/
}/*HeapSort*/