MIT_线性代数笔记:第 34 讲 总复习

目录

  • 试题1
  • 试题2
  • 试题3
  • 试题4
  • 试题5

本讲为线性代数课程总复习,复习的方法就是做往年试题。

试题1

1)已知 Ax= [ 1 0 0 ] \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix} 100 无解,Ax= [ 0 1 0 ] \begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix} 010 仅有一解。

a)这个矩阵为 m x n 矩阵,秩为 r,那么 m 是多少?r?

答:m=3。Ax= [ 1 0 0 ] \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix} 100 无解,说明 r小于m,Ax= [ 0 1 0 ] \begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix} 010 仅有一解,说明矩阵零空间只有零向量,所以 r=n。例如 A= [ 0 1 0 ] \begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix} 010 或者 A= [ 0 0 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 0&0\\1&0\\0&1 \end{bmatrix} 010001

知识点:
在这里插入图片描述

b)判断 d e t ( A T A ) = d e t ( A A T ) det(A^TA)=det(AA^T) det(ATA)=det(AAT)是否成立?
答:不成立。可以看下面两题的答案,分别是可逆和不可逆的矩阵。需要注意的是:只有当矩阵是方阵时,才有行列式的的乘积等于乘积的行列式。

c) A T A A^TA ATA是否可逆?
答:可逆,矩阵 A 列满秩 r=n,因此 A T A A^TA ATA 可逆。

d) A A T AA^T AAT是否正定?
答:否,不满秩,不可能是正定矩阵。

e)A^Ty=c,证明对于任意右侧向量至少有一个解。
答:矩阵 A T A^T AT为 n x 3 矩阵,行满秩,矩阵 A T A^T AT的零空间维数为 3-n,方程有无穷多解。

试题2

2)已知矩阵 A = [ v 1 v 2 v 3 ] A=\begin{bmatrix} v_1&v_2&v_3 \end{bmatrix} A=[v1v2v3]
a)求解 A x = v 1 − v 2 + v 3 Ax=v_1-v_2+v_3 Ax=v1v2+v3

答:x= [ 1 − 1 1 ] \begin{bmatrix} 1\\-1\\1 \end{bmatrix} 111

b)若 v 1 − v 2 + v 3 = 0 v_1-v_2+v_3=0 v1v2+v3=0,则上一题的解是否不唯一?
答:列向量线性相关,零空间有非零向量,Ax=0 解不唯一。

c)若 v 1 , v 2 和 v 3 v_1,v_2和 v_3 v1v2v3为标准正交,求 v 1 , v 2 v_1,v_2 v1v2线性组合距离 v 3 v_3 v3最近?
答:原点。

试题3

3)已知 Markov 矩阵 A = [ 0.2 0.4 0.3 0.4 0.2 0.3 0.4 0.4 0.4 ] A=\begin{bmatrix} 0.2& 0.4& 0.3\\0.4&0.2& 0.3\\0.4&0.4& 0.4 \end{bmatrix} A= 0.20.40.40.40.20.40.30.30.4
a)特征值?
答:列1+列2=2 x 列3,所以矩阵为奇异阵,有一个特征值 λ 1 = 0 λ_1=0 λ1=0。Markov 矩阵还有一个特征值 λ 2 = 1 λ_2=1 λ2=1,从迹可知最后一个特征值为 λ 3 = − 0.2 λ_3=-0.2 λ3=0.2

b) u k = A k [ 0 10 0 ] u_k=A^k\begin{bmatrix} 0\\10\\0 \end{bmatrix} uk=Ak 0100 ,求 k 步之后的状态?当 k 趋近于无穷时的状态?

答: u k = c 1 λ 1 k x 1 + c 2 λ 2 k x 2 + c 3 λ 3 k x 3 uk=c_1λ_1^kx_1+c_2λ_2^kx_2+c_3λ_3^kx_3 uk=c1λ1kx1+c2λ2kx2+c3λ3kx3。代入特征值可知,当 k 趋近于无穷时,只剩下 c 2 x 2 c_2x_2 c2x2。求解矩阵的特征向量

x 2 x_2 x2,得到 x 2 = [ 3 3 4 ] x_2=\begin{bmatrix} 3\\3\\4 \end{bmatrix} x2= 334 u 0 u_0 u0引入 10 个人(Markov 矩阵可以当作人口流动模型来看),并且最终的分配比例为 3:3:4,所以不用逐个求解特征向量和 c,可得 u k = [ 3 3 4 ] u_k=\begin{bmatrix} 3\\3\\4 \end{bmatrix} uk= 334

试题4

4)求符合题目要求的 2 x 2 矩阵。

a)投影到 a = [ 4 − 3 ] a=\begin{bmatrix} 4\\-3 \end{bmatrix} a=[43] 所在直线的投影矩阵。
答: P = a a T a T a = 1 25 [ 16 − 12 − 12 9 ] P=\frac{aa^T}{a^Ta} =\frac{1}{25}\begin{bmatrix} 16&-12\\-12&9 \end{bmatrix} P=aTaaaT=251[1612129]

b)矩阵具有特征值 0 和 3,对应的特征向量分别为 [ 1 2 ] \begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix} [12] [ 2 1 ] \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} [21]

答: A = [ 1 2 2 1 ] [ 0 0 0 3 ] [ 1 2 2 1 ] − 1 A=\begin{bmatrix} 1&2\\2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0\\0&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2\\2&1 \end{bmatrix}^{-1} A=[1221][0003][1221]1

c)矩阵 A 不能分解为 B T B B^TB BTB
答:给出一个不对称矩阵就可以了。

d)矩阵有正交的特征向量,但是非对称。
答:反对称矩阵或者在复数域上有正交特征向量的其它矩阵。

试题5

在这里插入图片描述
a)求投影 p。
答: p = 11 / 3 [ 1 1 1 ] − 1 [ 0 1 2 ] = [ 11 3 8 3 5 3 ] p=11/3\begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix} -1\begin{bmatrix} 0\\1\\2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \frac{11}{3}\\\frac{8}{3}\\\frac{5}{3}\end{bmatrix} p=11/3 111 1 012 = 3113835

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