旅行是许多人的热爱，但是在规划一个完美的假期时，找到最经济的路线常常是一个挑战。这里就需要引入一个著名的优化问题——旅行商问题。本文将介绍TSP的基础知识，并使用MTZ消除子环方法优化一个简单的TSP问题的示例。
旅行商问题简介
TSP，全称为Traveling Salesman Problem，即旅行商问题。它是一个经典的组合优化问题，其目标是找到一条路径，使得旅行商能够访问一组城市，并且总路程最短。
在TSP中，假设有一个旅行商需要访问N个城市，每个城市之间的距离已知。问题的目标是找到一条路径，使得旅行商能够从一个城市出发，最多只能经过所有城市一次（出发城市除外），最终回到出发城市，并且使得总路程最短。
TSP是一个非常重要且具有挑战性的问题，它在实际应用中有广泛的应用，如物流、电路板布线、旅游规划等。然而，由于TSP是一个NP-hard问题，对于大规模的问题，求解最优解是非常困难的，需要使用启发式算法、确切算法等来求解。
解决方案
下面是使用整数线性规划方法的简单描述：
- 定义问题：将每个城市视为TSP中的节点，城市之间的距离视为边的权重。
- 建立数学模型：使用二进制变量定义节点之间的连接关系，例如x[i,j]表示是否从节点i到节点j的路径。使用p[i,j]表示节点i到节点j的距离。
- 构建约束条件：
- 每个节点只能进入一次：对于每个节点i，约束条件为 ∑ x[i,j] = 1。
- 每个节点只能离开一次：对于每个节点i，约束条件为 ∑ x[j,i] = 1。
- 避免子环路：对于每个节点子集S，确保其节点之间的连接关系不构成环路。这可以通过添加额外的约束条件来实现，例如割平面约束或子环路消除约束（本文使用的方法）。
- 定义目标函数：目标是最小化总路程。目标函数可以定义为 Minimize ∑(i,j) p[i,j] * x[i,j]。
- 使用优化求解器：使用适合您编程语言的优化库或工具（本文使用的是MindOpt 优化求解器和MindOpt APl 建模语言），将模型加载到求解器中，并运行求解器来找到最优解。
一个问题示例
问题描述和数据搜集
小明目前在做一份毕业旅行的规划。打算从城市1出发，分别去如下几个城市：2,3,4,5,6,7,8,9,10，每个城市去一次，然后再回到城市1。
由于经费有限，小明在制定节省大旅游计划，比如住宿便宜青旅、蹭同学寝室、旅游景点门票绕开高峰期，计划里可调整的主要是路费和耗时。
为了简化问题，小明以高铁费用为参考，来计算花费最少的旅行路径。
在12306软件上查询了各个城市之间通行的路费如下：（并登记在一个表格文件 railway_cost.csv里。票价12306会有折扣，因此会出现不一致情况，按感觉的中位数随机选)
| 上海 | 杭州 | 黄山 | 苏州 | 南京 | 千岛湖 | 景德镇 | 金华 | 宁波 | 舟山 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 上海 | 0 | 73 | 190 | 38 | 135 | 143 | 217 | 147 | 116 | 无 |
| 杭州 | - | 0 | 110 | 111 | 112 | 62 | 181 | 74 | 71 | 无 |
| 黄山 | - | - | 0 | 230 | 240 | 50 | 71 | 176.5 | 无 | 无 |
| 苏州 | - | - | - | 0 | 94 | 182 | 无 | 190 | 182 | 无 |
| 南京 | - | - | - | - | 0 | 190 | 325 | 180 | 201 | 无 |
| 千岛湖 | - | - | - | - | - | 0 | 119 | 128 | 无 | 无 |
| 景德镇 | - | - | - | - | - | - | 0 | 146 | 无 | 无 |
| 金华 | - | - | - | - | - | - | - | 0 | 130 | 无 |
| 宁波 | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | 20 |
| 舟山 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 |
查询数据发现，舟山市一个特殊的很多海岛的城市，与外界高铁不方便，最合理的是宁波去再回宁波。
- 这样会产生一个矛盾：每个城市去一次，对于宁波因为路过会去两次，与去一次冲突。
- 对于这个问题，解决策略是：舟山必然和宁波相连地去游玩，去掉这个局部小环路。
- 因此，在建立数学模型的时候，可以将舟山先省略，先排其他的路程。
数学规划建模
下面我们采用数学规划的方法来建模这个旅行商问题。
首先：定义集合，描述数据，方便后面描述时候索引用。
- 城市集合 C C C
- 得到两两城市之间有方向的边(线段向量）的集合 E E E，用 e i , j e_{i,j} ei,j来表示， i i i不等于 j j j
高铁票价作为参数：
- 两地点之间车票价格 p i j , ∀ i , j ∈ E p_{ij},\forall i,j \in E pij,∀i,j∈E
然后：我们定义变量来解决这个问题。
设置变量是数学建模的关键一步，要思考我们可以操控改变的决策，能怎么用数学量化符号来表示。
比如这里我们想要找路径，那么直接可以设置0-1变量记录两两城市之间的路径是否有生效。即
- 0-1的二进制决策变量 x i j , ∀ i , j ∈ E x_{ij}, \forall i,j \in E xij,∀i,j∈E。如果经过这个路线，则 x i j = 1 x_{ij}=1 xij=1；如果没有经过这个点，则 x i j = 0 x_{ij}=0 xij=0。
然后：根据设置的变量，我们来描述结果评估好坏，比如本TSP问题我们用花费来评价，
- 则我们设置目标函数：最小化总旅行成本： min ∑ i , j ∈ E p i j ⋅ x i j \min \sum_{i,j \in E} p_{ij} \cdot x_{ij} min∑i,j∈Epij⋅xij
然后：开始设置约束，来限定变量的取值逻辑，使得符合要求又能找到可行解。
这里比较容易想到的约束是：
- 保证每个地点有两条路线相连接，其中一条为进入路线，一条为出去路线：
- 对于任意城市 ∀ c ∈ C \forall c \in C ∀c∈C， ∑ c , j ∈ E x c j = 1 \sum_{c,j \in E} x_{cj} =1 ∑c,j∈Excj=1，且 ∑ i , c ∈ E x i c = 1 \sum_{i,c \in E} x_{ic} = 1 ∑i,c∈Exic=1
子环问题
这里我们思考这个问题，或者编程尝试运行后会发现：仅有上面这条约束，会导致多个子圈（子回路）的情况，即算出来多个环，如下图示意。我们需要加限制是的只有一个圈环。这个过程称为消除子回路（subtour elimination）。（用户可自行尝试修改后文代码仅有这两条约束时运行结果，了解子环。）
消除子环的约束形式有多种方式，比如MTZ模型(Miller-Tucker-Zemlin subtour elimination constraints)和DFJ模型(Dantzig-Fulkerson-Johnson subtour elimination constraints)。
本文主要介绍MTZ的方法，它的设计很巧妙。
MTZ模型：
首先，我们引入自由变量 u i ≥ 0 u_i \geq 0 ui≥0 来代表i是路径中的第几个点。
然后引入一个 Big-M，大M法思路，引入一个足够大的数，联合 0-1变量 x i j x_ij xij来构造一个不等式，如下：
-
(
u
i
−
u
j
)
+
1
<
=
M
(
1
−
x
i
j
)
(u_i - u_j) +1 <= M (1- x_{ij})
(ui−uj)+1<=M(1−xij)，其中i
- 当 x i j = 1 x_{ij}=1 xij=1时，表示i->j是路径中的一个有向线段，此时 u i u_i ui与 u j u_j uj是路径上相继的两个点，因此 u i − u j = − 1 u_i - u_j = -1 ui−uj=−1，上述约束成立；
- 当 x i j = 0 x_{ij}=0 xij=0，右边的值 M M M足够大，上述公式也成立。
为了更好地估计，这里我们的Big-M取值最好接近理论上界：
- 由于u_i和u_j的差异最大是城市数量 N N N 减去1，即 N − 1 N-1 N−1，
- 即不等式左边是 N − 1 + 1 = N N-1 + 1 = N N−1+1=N, 可取Big-M为 N N N。
- 再将变量都挪到等式左边，整理得到 ( u i − u j ) + N ∗ x i j − ( N − 1 ) < = 0 (u_i - u_j) + N * x_{ij} - (N -1) <= 0 (ui−uj)+N∗xij−(N−1)<=0
此外，需要注意的是，此 u i u_i ui记录的是 1 − N 1-N 1−N个城市的顺序。去环后是个单向顺序。而实际的我们本例中的TSP问题，是从起点城市 1 1 1出发后，最后需要回到起点 1 1 1。
- 因此，除了城市集合C，我们还另外拓了个城市，序号 N + 1 N+1 N+1，此序号就是起点城市，其路费的费用与起点城市相同。
- 与之对应的，前面的进、出城市只有一条的约束，也会因为这个增加的节点，有变化：
- 城市间线段的结合E增加了N个城市到终点城市的向量
- 1-N 的城市都只有一条出去的线路
- 2-N+1的城市都只有一条回来的线路
整理后得到数学公式如下：
min ∑ i , j ∈ E p i j ⋅ x i j s.t. x i j ∈ { 0 , 1 } ∑ c , j ∈ E x c j = 1 , ∀ c ∈ { 1.. N } ∑ j , c ∈ E x j c = 1 , ∀ c ∈ { 2.. N + 1 } ( u i − u j ) + N ⋅ x i j − ( N − 1 ) < = 0 , ∀ i , j ∈ { 1.. N } u i ≥ 0 \begin{array}{rll} \min & \sum_{i,j \in E} p_{ij} \cdot x_{ij} & \\ \text{s.t.} & x_{ij} \in \{0,1\} & \\ & \sum_{c,j \in E} x_{cj} =1,& \forall c \in \{1..N\} \\ & \sum_{j,c \in E} x_{jc} =1,& \forall c \in \{2..N+1\} \\ & (u_i - u_j) + N \cdot x_{ij} - (N -1) <= 0, & \forall i,j \in \{1..N\} \\ & u_{i} \geq 0 & \\ \end{array} mins.t.∑i,j∈Epij⋅xijxij∈{0,1}∑c,j∈Excj=1,∑j,c∈Exjc=1,(ui−uj)+N⋅xij−(N−1)<=0,ui≥0∀c∈{1..N}∀c∈{2..N+1}∀i,j∈{1..N}
选择工具编程和清理数据
这里我们采用达摩院自研的代数建模语言 MindOpt APL（MAPL）进行编程。方便码代码和更换求解器测试。
为了编程的时候方便，也为了数据能统一表达，
- 我们将上述的城市进行编号1-9。整理在
data/city_list.csv。 - 对于无高铁的，临时用大数值（10000）来代替其价格防止被选，并且将之前的半三角的价格，转置粘贴再相加后，得到价格如文件
data/price.csv。- MAPL目前对于文件形式的二维表格的读入理解支持不好，比较适合复制进代码直接改，或者拉成k-v对的长表更利于读取（文件
data/price_longlist.csv）。下文代码给了两种示例。
- MAPL目前对于文件形式的二维表格的读入理解支持不好，比较适合复制进代码直接改，或者拉成k-v对的长表更利于读取（文件
最后撰写MAPL的代码如下:
clear model;
option modelname TSP_01; #定义存储文件名
# ----------建模--------Start----
# TSP_01.mapl
print "导入数据和参数-------";
## 导入数据------------
# 城市集合---
param fileDir = "data/";
set City = {read fileDir+"city_list.csv" as "<1n>" skip 1}; # 读取城市序号
param CityName[City] = read fileDir+"city_list.csv" as "<1n> 2s" skip 1; #读取城市名称
param cityNum = card(City);
# 路费参数---
# 输入方式1
param price[City*City] = read fileDir+"price_longlist.csv" as "<1n,2n> 5n" skip 1; #读取高铁费用
#print price;
#输入方式2
#param price[City*City] =
# |1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9|
#|1| 0, 73, 190, 38, 135, 143, 217, 147, 116|
#|2| 73, 0, 110, 111, 112, 62, 181, 74, 71|
#|3|190, 110, 0, 230, 240, 50, 71, 176.5, 10000|
#|4| 38, 111, 230, 0, 94, 182, 10000, 190, 182|
#|5|135, 112, 240, 94, 0, 190, 325, 180, 201|
#|6|143, 62, 50, 182, 190, 0, 119, 128, 10000|
#|7|217, 181, 71, 10000, 325, 119, 0, 146, 10000|
#|8|147, 74, 176.5, 190, 180, 128, 146, 0, 130|
#|9|116, 71, 10000, 182, 201, 10000, 10000, 130, 0|;
#print price;
# 设定起始城市----
param startCity = 1; #选择对应数字序号的城市为起始城市(startCity)，此处可根据需要修改成自己的出发城市
# 其他的城市
set City_internal = City - {startCity};
# 引入虚拟城市，实际就是起始城市，对虚拟城市endCity给予ID赋值，
# 比如路径 1->3->4->2->1,最后一个1是虚拟引入的
# 注意：引入虚拟城市，是为了消除TSP中所有的环，否则引入MTZ约束后，问题会不可行。(因为MTZ约束实际上不允许环存在，这也包括了TSP问题的可行解)
param endCity = cityNum + 1;
#生成边的集合----
# 城市之间的两两互通（有方向） + 除了起始城市外的所有城市去结束城市
set Edge = {<i,j> in City*City with i!=j:<i,j>} + {k in City_internal:<k, endCity>};
#print Edge;
print "开始建模-------";
## 定义变量-----------
var u[City] >= 0 ; # MTZ模型需要，代表各个城市是路径中的第几个点
var x[Edge] binary; #这个边是否有
## 目标函数------------
minimize totalCost :
sum{<i,j> in Edge with j != endCity} price[i,j] * x[i,j] +
sum{k in City_internal} price[k,startCity]*x[k,endCity];
# 注：结束节点endCity的路费，用startCity的price来替
## 约束函数------------
# 每个城市离开1次,除结束城市外
subto leaveCityEquals1_:
forall {c in City}
sum{ <c,j> in Edge} x[c,j] == 1;
# 每个城市进入1次，除起始城市外
subto enterCityEquals1_:
forall {c in (City_internal + {endCity})}
sum{ <i,c> in Edge} x[i,c] == 1;
# 消除子环
# MTZ模型：
# 引入自由变量u_i>= 0来代表i是路径中的第几个点。
# 然后引入一个Big-M，构造 (u_i - u_j) +1 <= M (1- x_ij)：
# - 当x_ij=1时，表示i->j是路径中的一个有向线段，此时u_i与u_j是路径上相继的两个点，因此 u_i - u_j = -1，上述约束成立；
# - 当x_ij =0，右边的值足够大，上述公式也成立。
# 为了更好地估计，这里我们的Big-M取值最好接近理论上界。 由于u_i和u_j的差异最大是cityNum-1，可取Big-M为cityNum。
# 整理得到 (u_i - u_j) + cityNum * x_ij <= cityNum -1
subto MTZ_:
forall {<i,j> in Edge with j!=endCity }
u[i] - u[j] + cityNum * x[i,j] <= cityNum-1;
print "开始求解-------";
## 求解-----
option solver mindopt; # （可选）指定求解用的求解器，默认是MindOpt
option mindopt_options 'print=0'; #设置求解器输出级别，减少过程打印
#option mindopt_options 'iisfind=1'; # 设置IIS
solve;# 求解
## 打印约束--------在调试时候求解不出时候打印
#print "IIS info:";
# 如果想避免人工列举所有约束，也可以使用MAPL的内置关键字_con与_ncons来一次性 遍历全部约束，代码如下:
#for i in 1.._ncons with _con[i].iis > 0: print "{}{}: iisType={}" % _con[i].name, _con[i].index, _con[i].iis;
print "打印结果-------";
#display; #结果太多，省略，需要打印的时候打印
forall {<i,j> in Edge with x[i,j]>=0.5 and j != endCity}
print "{}号城市{} --> {}号城市{}：{},价格{}"%i,CityName[i],j,CityName[j],x[i,j],price[i,j];
#用起始城市替换结束城市名称
forall {<i,endCity> in Edge with x[i,endCity]>=0.5 }
print "{}号城市{} --> {}号城市{}：{},价格{}" % i, CityName[i], startCity, CityName[startCity], x[i,endCity], price[i,startCity];
print "整理后访问的路径是：---------";
forall { y in 1..9 }
forall {<i> in City with u[i] == y-1 }
print "第{}个城市是{}号{}" % y, i, if CityName[i] == "宁波" then CityName[i] + ", 之后往返舟山" else CityName[i] end;
print "最后回到起始城市是{}号{}"%endCity,CityName[startCity];
forall {<i,j> in Edge with x[i,j]>=0.5 and j != endCity}
print "{}->{}"% (if CityName[i] == "宁波" then CityName[i] + "->舟山
舟山->宁波
宁波" else CityName[i] end), CityName[j];
forall {<i,endCity> in Edge with x[i,endCity]>=0.5 }
print "{}->{}"% (if CityName[i] == "宁波" then CityName[i] + "->舟山
舟山->宁波
宁波" else CityName[i] end), CityName[startCity];
print "总花费是 = {}"% (sum{<i,j> in Edge with j != endCity} price[i,j] * x[i,j] + sum{k in City_internal} price[k,startCity]*x[k,endCity]) + 2 * 20;
# 验证MTZ约束
#forall {<i,j> in City * City with i < j and j >= 2}
# print "u[{}]_{} - u[{}]_{} + (cityNum -1) * x[i,j]_{} = {}" % i,u[i],j,u[j],x[i,j],(u[i] - u[j] + (cityNum -1) * x[i,j]);
运行上述代码结果如下：
导入数据和参数-------
开始建模-------
开始求解-------
Running mindoptampl
wantsol=1
print=0
MindOpt Version 1.0.1 (Build date: 20231114)
Copyright (c) 2020-2023 Alibaba Cloud.
Start license validation (current time : 04-FEB-2024 15:05:26).
License validation terminated. Time : 0.005s
OPTIMAL; objective 819.00
Completed.
打印结果-------
1号城市上海 --> 4号城市苏州：1,价格38
2号城市杭州 --> 6号城市千岛湖：1,价格62
3号城市黄山 --> 7号城市景德镇：1,价格71
4号城市苏州 --> 5号城市南京：1,价格94
5号城市南京 --> 2号城市杭州：1,价格112
6号城市千岛湖 --> 3号城市黄山：1,价格50
7号城市景德镇 --> 8号城市金华：1,价格146
8号城市金华 --> 9号城市宁波：1,价格130
9号城市宁波 --> 1号城市上海：1,价格116
整理后访问的路径是：---------
第1个城市是1号上海
第2个城市是4号苏州
第3个城市是5号南京
第4个城市是2号杭州
第5个城市是6号千岛湖
第6个城市是3号黄山
第7个城市是7号景德镇
第8个城市是8号金华
第9个城市是9号宁波, 之后往返舟山
最后回到起始城市是10号上海
上海->苏州
杭州->千岛湖
黄山->景德镇
苏州->南京
南京->杭州
千岛湖->黄山
景德镇->金华
金华->宁波
宁波->舟山
舟山->宁波
宁波->上海
总花费是 = 859
最后如果大家想基于这个问题进行修改，做更多的尝试，可以扫描下方的二维码或者点击这个链接，进入MindOpt Studio 云上建模求解平台中获取（无需下载软件）。
