Python统计分析——参数估计

参考资料：用python动手学统计学

所谓参数就是总体分布的参数。

1、导入库

# 导入用于数值计算的库
import numpy as np
import pandas as pd
import scipy as sp
from scipy import stats
# 导入用于绘图的库
from matplotlib import pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set()

2、导入案例材料

data=np.array([4.352982,3.735304,5.944617,3.798326,4.087688,5.265985,3.272614,3.526691,4.150083,3.736104])
data

3、点估计

直接指定总体分布的参数为某一值的估计方法叫作点估计。

我们使用样本均值作为总体均值的点估计量，所以只需要计算出样本的均值就可以完成估计。这看起来很简单，但要注意，正因为样本均值具有无偏性和一致性，它才可以作为总体均值的估计值。

同理，我们使用样本的无偏方差作为总体方差的估计值。

python实现步骤如下；

mu=np.mean(data)
sigma_2=np.var(data,ddof=1)
print('总体均值的估计值为：',mu)
print('总体方差的估计值为：',sigma_2)

结果如下：

4、区间估计

估计值具有一定范围的估计方法叫作区间估计。我们使用概率的方法计算这个范围。因为估计值是一个范围，所以可以引入估计误差。估计误差越小，区间估计的范围越小；样本容量越大，区间的范围越小。

置信水平，是表示区间估计的区间可信度的概率。例如95%、99%都是常用的置信水平。二满足某个置信水平的区间叫作置信区间。对于同一组数据，置信水平越大，置信区间就越大。

置信区间的计算如下：

$\bar{x}-t_{1-\alpha/2}\times \sigma/\sqrt{n}<\mu<\bar{x}-t_{\alpha/2}\times \sigma/\sqrt{n}$

python实现步骤如下：

# 自由度
df=len(data)-1
sigma=np.std(data,ddof=1)
se=sigma/np.sqrt(len(data))
interval=stats.t.interval(confidence=0.95,df=df,loc=mu,scale=se)
interval

结果如下：

与公式计算结果一致，如下图：

5、python函数参数介绍：

5.1 scipy.stats.t.interval()用于获取t分布的置信区间，参数介绍如下：

（1）confidence，用于设置置信水平。可以用列表的形式设置多个置信水平。如下：

（2）df为自由度，loc为样本均值，scale为样本均值的标准误。

5.2 scipy.stats.t.ppf()用于获取t分布的百分位数。

（1）q，小数形式，设置需要获取百分数对应的百分位

（2）df，设置自由度。

6、决定置信区间大小的因素

6.1 样本方差越大，置信区间越大

将样本标准差变为原来的10倍进行验证。

5.2 样本容量越大，样本均值就越可信，进而置信区间就越小

将样本容量为原来的10倍进行验证。

5.3 置信水平越大，置信区间就会越大。

将置信水平调整为99%，进行验证。

6、置信区间结果的解读

如上图所示，置信水平为95%的置信区间，表示所得到的该区间包含真正的总体均值这一参数的概率为95%。

下面用2万次的抽样结果，对置信区间的置信水平进行验证。

# 执行2万次求95%置信区间的操作
# 如果置信区间包含总体均值（本例设置为4），就为True
np.random.seed(1) # 设置随机种子，用于复现结果
# 设置数组用于存放置信区间是否包含总体均值的判断结果
be_included_array=np.zeros(20000,dtype='bool')
# 设置正态总体
pop=stats.norm(loc=4,scale=0.8)
# 完成2万次的样本抽取并对置信区间是否包含总体均值进行验证
for i in range(0,20000):
    sample=pop.rvs(size=10)
    df=len(sample)-1
    mu=np.mean(sample)
    std=np.std(sample,ddof=1)
    se=std/np.sqrt(len(sample))
    interval=stats.t.interval(0.95,df=df,loc=mu,scale=se)
    if(interval[0]<4 and interval[1]>4):
        be_included_array[i]=True
        
# 汇总True的占比
sum(be_included_array)/len(be_included_array)