II. SYSTEM MODEL AND PROBLEM FORMULATION

如图1所示，BS配置了尺寸为 $N=N_1\times N_2$ 的均匀平面阵列（uniform planar array，UPA)，服务 $K$ 个 single-MA UTs，其中 $N_1$ 和 $N_2$ 分别表示水平方向和垂直方向的天线数。我们假设 UTs 的个数不超过BS处天线的个数，即 $K\le N$。对于每个UT k，MA通过柔性电缆连接到RF链，以便它可以在本地区域内移动 ${\mathcal{C}}_k$。建立一个三维(3D)局部坐标系来描述UT k的MA 的位置，记为 ${\mathbf{u}}_k={\left[x_k,y_k,z_k\right]}^{\mathrm{T}}\in {\mathcal{C}}_k$，$1\le k\le K$。在不失一般性的前提下，我们假设天线移动的局部区域立方体（cuboid），即 ${\mathcal{C}}_k=\left[x_k^{\min },x_k^{\max }\right]\times \left[y_k^{\min },y_k^{\max }\right]\times \left[z_k^{\min },z_k^{\max }\right],1\le k\le K$。另外，第 $n$ 个FPA在BS处的局部坐标记为 ${\mathbf{v}}_n=\left[X_n,Y_n,Z_n\right],1\le n\le N$。

设 ${\mathbf{h}}_k\left({\mathbf{u}}_k\right)\in {\mathbb{C}}^{N\times 1}$ 表示BS和UT $k$ 之间的信道矢量，它由传播环境和MA的位置 ${\mathbf{u}}_k$ 决定。我们考虑从 UTs 到BS的上行传输，因此通过MAC接收到的信号可以表示为

$$\mathbf{y}={\mathbf{W}}^{\mathrm{H}}\mathbf{H}(\tilde{\mathbf{u}}){\mathbf{P}}^{1/2}\mathbf{s}+{\mathbf{W}}^{\mathrm{H}}\mathbf{n}\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $\mathbf{W}=\left[{\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,\cdots ,{\mathbf{w}}_K\right]\in {\mathbb{C}}^{N\times K}$ 是BS处的接收组合矩阵，${\mathbf{w}}_k$ 为UT $k$ 的组合向量，$1\le k\le K$。$\mathbf{H}(\tilde{\mathbf{u}})=\left[{\mathbf{h}}_1\left({\mathbf{u}}_1\right),{\mathbf{h}}_2\left({\mathbf{u}}_2\right),\cdots ,{\mathbf{h}}_K\left({\mathbf{u}}_K\right)\right]\in {\mathbb{C}}^{N\times K}$ 为所有 UTs 到BS天线阵列的MAC矩阵，其中 $\tilde{\mathbf{u}}={\left[{\mathbf{u}}_1^{\mathrm{T}},{\mathbf{u}}_2^{\mathrm{T}},\cdots ,{\mathbf{u}}_K^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{R}}^{3K\times 1}$ 为MA positioning vector。$\mathbf{s}={\left[s_1,s_2,\cdots ,s_K\right]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{C}}^{K\times 1}$ 表示 UTs 的发射信号，其归一化功率，即 $\mathbb{E}\left({\mathbf{s}}^{\mathrm{H}}\mathbf{s}\right)={\mathbf{I}}_K$。

A. 通道模型

本文考虑了慢衰落的窄带信道，并重点研究了一个准静态衰落块。在远场假设下，平面波模型可以形成每个UT的MA区域到BS的UPA的场响应[4]。设Ltk和Lrk，1≤k≤k分别表示从UT k到BS的发射和接收信道路径总数。UT k与BS之间的第j个发射路径的仰角和方位角(AoDs)分别记为θk,jt和ϕk,j t, 1≤j≤Ltk。UT k与BS之间的第i条接收路径的仰角和到达方位角(AoAs)分别记为θk,ir和ϕk,ir，1≤i≤Lrk。为方便起见，我们将虚拟AoDs和AoAs分别定义为ϑtk,j = cos θk,jt cos ϕtk,j， φtk,j = cos θtk,j sin ϕtk,j， ωk,j t= sin θk,jt, 1≤j≤Ltk，以及ϑrk,i = cos θk,ir cos θk,i， φrk,i = cos θk,ir sin ϕrk,i， ωk,ir = sin θk,ir, 1≤i≤Lkr。
记λ为载波波长，得到UT k和BS之间信道的发射和接收场响应矢量(frv)为[4]，[5]

式中，1≤k≤k, 1≤n≤n，其中ρtk,j (uk) = xkϑtk,j +ykφtk,j+zkωk,jt，1≤j≤Ltk表示第j个发射信道路径MA位置uk与原点(即UT k处本地坐标系Ok))的信号传播距离之差，表明UT k第j个发射信道路径MA位置uk与Ok的系数相位差为2λπ ρtk,j (uk)。同样，ρrk,i(vn) = Xnϑk,i r+Ynφk,i r+Znωk,ir, 1≤i≤Lkr表示第i个接收信道路径上BS天线位置vn与原点(即BS本地坐标系O0))之间的信号传播距离之差。
然后，我们定义路径响应矩阵(PRM)，Σk∈CLrk×Ltk，来表示从Ok到O0的所有发送和接收信道路径之间的响应，1≤k≤k。其中，Σk第i行第j列的条目为UT k的第j个发射路径与第i个接收路径之间的响应系数，因此，UT k与BS之间的信道矢量可表示为[4]，[5]

其中Fk = [Fk (v1)， Fk (v2)，···，Fk (vN)]∈clark ×N是BS处的场响应矩阵(FRM)，由于BS的天线位置固定，所以FRM是一个常数矩阵。

B. Problem Formulation

对于BS处采用线性组合的上行传输，UT k，$1\le k\le K$ 处信号的接收信噪比(SINR)为

$${\gamma }_k=\frac{{\left|{\mathbf{w}}_k^{\mathrm{H}}{\mathbf{h}}_k\left({\mathbf{u}}_k\right)\right|}^2{p}_k}{{\sum }_{q=1,q\ne k}^K{\left|{\mathbf{w}}_k^{\mathrm{H}}{\mathbf{h}}_q\left({\mathbf{u}}_q\right)\right|}^2{p}_q+{\Vert {\mathbf{w}}_k\Vert }_2^2{\sigma }^2}\text{\hspace{1em}(4)}$$

本文在满足每个UT的最小可达率要求的前提下，通过联合优化每个UT的MA位置、每个UT的发射功率以及BS的接收组合矩阵，以最小化多个UT的总发射功率。设 $\mathbf{p}={\left[p_1,p_2,\cdots ,p_K\right]}^{\mathrm{T}}$ 表示UT的发射功率矢量。据此，优化问题可以表示为

$$\begin{array}{rl}\underset{\tilde{\mathbf{u}},\mathbf{p},\mathbf{W}}{\min }& \sum _{k=1}^K{p}_k\\ \text{ s.t. }& {\log }_2\left(1+{\gamma }_k\right)\ge r_k,1\le k\le K\\ & {\mathbf{u}}_k\in {\mathcal{C}}_k,1\le k\le K\\ & p_k\ge 0,1\le k\le K\end{array}$$

其中约束(5b)表明UT k的可实现速率应不小于其最低要求 $r_k$。问题(5)很难解决，因为通道向量和UT的可实现速率相对于(w.r.t.) MAs的位置是非凸的。此外，这些高维矩阵/向量变量之间的耦合使这个问题更加棘手。问题(5)无法用现有的优化工具在多项式时间内得到最优解决。

III. PROPOSED SOLUTION

由于MAs的位置、UT的发射功率和BS处的接收组合矩阵之间存在耦合，问题(5)无法得到最优解。为了解决这个问题，我们提出利用最小均方误差(minimum mean square error, MMSE)组合方法将接收组合矩阵表示为MA定位向量的函数，然后优化MA的位置，以最小化多个UT的总发射功率。具体来说，对于任意给定的MA定位矢量（即 $\tilde{\mathbf{u}}$）和UT的发射功率（即 $\mathbf{p}$）， MMSE接收机给出的BS最大化可达速率区域的最优线性组合矩阵[11]，即：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{W}}_{\mathrm{MMSE}}(\tilde{\mathbf{u}},\mathbf{P})& ={\left(\mathbf{H}(\tilde{\mathbf{u}})\mathbf{PH}(\tilde{\mathbf{u}}{)}^{\mathrm{H}}+{\sigma }^2{\mathbf{I}}_N\right)}^{-1}\mathbf{H}(\tilde{\mathbf{u}})\\ & \triangleq \left[{\hat{\mathbf{w}}}_1,{\hat{\mathbf{w}}}_2,\cdots ,{\hat{\mathbf{w}}}_K\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

与wˆk = H (u˜)PH值(u˜)H +σ2 ?−1港元(英国),1≤k≤k, P =诊断接头{P}。将式(6)代入式(4)，则UT k信号的接收SINR可改写为

设A∈RK×K表示一个矩阵，其元素在第k行第q列，由Ak,q给出，b∈RK×1表示一个向量，其第k个元素由bk给出。很容易验证，为了使总发射功率最小，每个UT的SINR应恰好等于其最小要求，即γˆk=ηk2rk−1[10],PK，可以等效地表示为Ak,k/η k ×pk = q=1,q η =k Ak,q pq + bk, 1≤k≤k。这些方程w.r.t.p的矩阵形式由

令D = diag{A1,1/η 1, A2,2/η 2，···，AK,K /η K}， [Ψ] K, q = Ak，当1≤K时，q = q≤K; [Ψ] K，当1≤K≤K时，K = 0。这样，得到的发射功率的最优解为
$$\hat{\mathbf{p}}=(\mathbf{D}-\mathbf{\Psi }{)}^{-1}\mathbf{b}.\text{\hspace{1em}(9)}$$

满足最小可达速率约束的UT总发射功率可表示为

$$\sum _{k=1}^K{\hat{p}}_k={\Vert (\mathbf{D}-\mathbf{\Psi }{)}^{-1}\mathbf{b}\Vert }_1\triangleq f(\tilde{\mathbf{u}},\mathbf{P}).\text{\hspace{1em}(10)}$$

需要注意的是，为了保证每个UT的发射功率不为负，需要考虑一个隐式约束，即 ${\hat{p}}_k\ge 0,1\le k\le K$。[10]中已经证明，非负功率约束等价于矩阵 $\mathbf{D}{\mathbf{\Psi }}^{-1}$ 谱半径小于1。那么，问题(5)就可以转化为

$$\begin{array}{ll}{\min }_{\tilde{\mathbf{u}},\mathbf{P}}& f(\tilde{\mathbf{u}},\mathbf{P})\\ \text{ s.t. }& {\mathbf{u}}_k\in {\mathcal{C}}_k,1\le k\le K,\\ & \rho \left\{\mathbf{D}{\mathbf{\Psi }}^{-1}\right\}<1,\end{array}$$

其中 $\rho \left\{\mathbf{D}{\Psi }^{-1}\right\}$ 表示矩阵 $\mathbf{D}{\mathbf{\Psi }}^{-1}$ 的谱半径，等于其特征值绝对值的最大值。

为了解决上述非凸问题，我们提出了一种交替更新 $\tilde{\mathbf{u}}$ 和 $\mathbf{P}$ 的迭代算法，其中 ${\tilde{\mathbf{u}}}^{(t-1)}$ 和 ${\mathbf{P}}^{(t-1)}$ 分别表示MA定位和发射功率在 $(t-1)$ 次迭代中的解。函数 $f(\tilde{\mathbf{u}},\mathbf{P})$ 在位置 $\left({\tilde{\mathbf{u}}}^{(t-1)},{\mathbf{P}}^{(t-1)}\right)$ 关于 $\tilde{\mathbf{u}}$ 的梯度可以计算为
$$\begin{array}{rl}& {\left[{\nabla }_{\tilde{\mathbf{u}}}f\left({\tilde{\mathbf{u}}}^{(t-1)},{\mathbf{P}}^{(t-1)}\right)\right]}_i={\frac{\partial f(\tilde{\mathbf{u}},\mathbf{P})}{\partial [\tilde{\mathbf{u}}{]}_i}|}_{\tilde{\mathbf{u}}=\tilde{\mathbf{u}}(t-1),\mathbf{P}={\mathbf{P}}^{(t-1)}}\\ =& \underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{f\left({\tilde{\mathbf{u}}}^{(t-1)}+\delta {\mathbf{e}}_{3K}^i,{\mathbf{P}}^{(t-1)}\right)-f\left({\tilde{\mathbf{u}}}^{(t-1)},{\mathbf{P}}^{(t-1)}\right)}{\delta }\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$

用 $1\le i\le 3K$，其中 ${\mathbf{e}}_{3K}^i$ 是一个 $3K$ 维向量，以1作为第 $i$ 个元素，其他地方为0。然后，根据梯度下降法[12]，更新第 $t$ 次迭代中的MA定位向量

$${\tilde{\mathbf{u}}}^{(t)}=\mathcal{B}\left\{{\tilde{\mathbf{u}}}^{(t-1)}-{\hat{\tau }}^{(t)}{\nabla }_{\tilde{\mathbf{u}}}f\left({\tilde{\mathbf{u}}}^{(t-1)},{\mathbf{P}}^{(t-1)}\right)\right\},\text{\hspace{1em}(13)}$$

其中 ${\hat{\tau }}^{(t)}$ 是第 $t$ 次迭代中梯度下降的步长。 B { u ~ } \mathcal{B}\left\{\tilde{\bf{u}}\right\} B{u~} 是一个函数，如果 $\tilde{\mathbf{u}}$ 中的每个元素超过可行区域，则将该元素投射到其可行区域的最近边界，即：

[ B { u ~ } ] i = { [ u ~ ] i min ⁡ ,  if  [ u ~ ] i < [ u ~ ] i min ⁡ , [ u ~ ] i ,  if  [ u ~ ] i min ⁡ ≤ [ u ~ ] i ≤ [ u ~ ] i max ⁡ [ u ~ ] i max ⁡ ,  if  [ u ~ ] i > [ u ~ ] i max ⁡ , (14) [\mathcal{B}\{\tilde{\mathbf{u}}\}]_{i}=\left\{\begin{array}{ll} {[\tilde{\mathbf{u}}]_{i}^{\min },} & \text { if }[\tilde{\mathbf{u}}]_{i}<[\tilde{\mathbf{u}}]_{i}^{\min }, \\ {[\tilde{\mathbf{u}}]_{i},} & \text { if }[\tilde{\mathbf{u}}]_{i}^{\min } \leq[\tilde{\mathbf{u}}]_{i} \leq[\tilde{\mathbf{u}}]_{i}^{\max } \\ {[\tilde{\mathbf{u}}]_{i}^{\max },} & \text { if }[\tilde{\mathbf{u}}]_{i}>[\tilde{\mathbf{u}}]_{i}^{\max }, \end{array}\right.\tag{14} [B{u~}]i​=⎩ ⎨ ⎧​[u~]imin​,[u~]i​,[u~]imax​,​ if [u~]i​<[u~]imin​, if [u~]imin​≤[u~]i​≤[u~]imax​ if [u~]i​>[u~]imax​,​(14)

~ (u ~)中第i个元素的可行域上的界。根据定义u
~对应于uki的qi-th元素，其中ki=⌊i/3⌋+ 1，qi= i−3(ki−1)。

利用投影函数 B { u ~ } \mathcal{B}\left\{\tilde{\bf{u}}\right\} B{u~} 是为了保证MA定位的解在迭代过程中始终位于可行区域。我们知道，步长会显著影响梯度下降算法的性能。在本文中，我们采用回溯线搜索（backtracking line search）来获得一个合适的步长[13]。具体来说，对于每次迭代，我们从一个较大的正步长开始，${\hat{\tau }}^{(t)}=\hat{\tau }$，并反复将其缩小一个 $\hat{\kappa }\in (0,1)$，即 ${\hat{\tau }}^{(t)}\leftarrow \hat{\kappa }{\hat{\tau }}^{(t)}$，直到 Armijo–Goldstein 条件和谱半径约束满足

$$\begin{array}{rl}& f\left({\tilde{\mathbf{u}}}^{(t)},{\mathbf{P}}^{(t-1)}\right)\le f\left({\tilde{\mathbf{u}}}^{(t-1)},{\mathbf{P}}^{(t-1)}\right)-\hat{\xi }{\hat{\tau }}^{(t)}{\Vert {\nabla }_{\tilde{\mathbf{u}}}f\left({\tilde{\mathbf{u}}}^{(t-1)},{\mathbf{P}}^{(t-1)}\right)\Vert }_2^2,\\ & \rho \left\{{\mathbf{D}}^{(t)}{\left({\mathbf{\Psi }}^{(t)}\right)}^{-1}\right\}<1,\end{array}\text{\hspace{1em}(15a)(15b)}$$

其中 $\hat{\xi }\in (0,1)$ 是一个给定的控制参数，用于评估当前步长是否在目标函数中实现了足够的下降。

更新MA定位矢量后，根据式(9)计算 ${\mathbf{D}}^{(t)}$, ${\mathbf{\Psi }}^{(t)}$, ${\mathbf{b}}^{(t)},$ and ${\hat{\mathbf{p}}}^{(t)}$ 的值，从而将第t次迭代的发射功率矩阵更新为

$${\mathbf{P}}^{(t)}=\mathrm{diag}\left\{{\hat{\mathbf{p}}}^{(t)}\right\}\text{\hspace{1em}(16)}$$

直到(5a)中目标值的减量小于一个小正值 $\widehat{ϵ}$，整个算法才会终止。

在算法1中总结了求解问题(5)的建议解，其中 ${\hat{T}}_{\text{max }}$ 表示最大迭代次数。在第2-15行，MA定位矢量和发射功率矩阵交替优化，其中将MMSE组合矩阵写成 $\tilde{\mathbf{u}}$ 和 $\mathbf{P}$ 的函数进行联合优化。

算法1的收敛性分析如下：对于每次迭代，6-10行MA定位向量的更新可以保证目标函数值是不增加。这是因为 $f\left(\tilde{\mathbf{u}},{\mathbf{P}}^{(t-1)}\right)$ 和 $\rho \left\{\mathbf{D}{\mathbf{\Psi }}^{-1}\right\}$ 都是关于 $\tilde{\mathbf{u}}$ 连续函数。如果在 ${\nabla }_{\tilde{\mathbf{u}}}f\left({\tilde{\mathbf{u}}}^{(t-1)},{\mathbf{P}}^{(t-1)}\right)$ 中存在元素不等于零且对应的梯度方向是朝向可行域内部的元素，我们总是可以找到一个足够小的正的 ${\hat{\tau }}^{(t)}$，它可以保证f?u ~ (t)， P(t−1)?< f u ~ (t−1)，P(t−1)?。此外，由于我们有ρD(t−1)(Ψ (t−1)?)−1 < 1，一个足够小的τˆ(t)也可以guarantee?ρD(t)(Ψ(t))−1< 1由于功能的连续性ρDΨ−1。因此，在迭代过程中，我们总能找到a?newsolution?的保证

其中等式在梯度为零的点或位于由(11b)定义的可行域边界上的点保持不变。此外，由于P(t)在第11行中被更新为diag{p}(t)}，因此产生了最优MMSE组合矩阵WMMSE(u ~ (t)， p (t))，用于在当前发射功率下最大化ut的可实现速率区域pˆ(t)[11]。这表明，WMMSE(u ~ (t)，P(t))和P - (t)得到的各UT SINR不小于WMMSE(u ~(t)?，P(t−1))和P - (t)得到的SINR，即γk WMMSE(≈u(t)，P(t))， P - (t)≥γk WMMSE(u ~ (t)，P(t−1))，P - (t)?， 1≤k≤k。换句话说，更新后的P(t)在求解方程时为降低总发射功率提供了额外的dof

γˆk=ηk，1≤k?≤K。因此,
结合(17)和式(18)可知，算法1可以在迭代过程中实现(5a)中目

标值的不递增序列。由于总发射功率下界为零，因此可以得出算法1求解问题(5)的收敛性是保证的。
在算法1中，主要的计算复杂度是由第2-15行的迭代引起的。具体来说，梯度值的计算复杂度为0 (KN3)。表示第6-10行回溯直线搜索的最大迭代次数为Iˆmax，对应的计算复杂度由O(IˆmaxN3给出)。因此，求解问题(5)的算法1的最大计算复杂度为O?T * max(KN 3 + I * maxN 3)。?