卡诺图：逻辑相邻与几何相邻的统一

文章目录

- 1.一句话记住卡诺图
- 2.卡诺图的由来、定义和特点
- 3.填写卡诺图（用卡诺图表示逻辑函数）
- - ⑴根据真值表填写卡诺图
  - ⑵根据最小项（或最大项）填写卡诺图
  - ⑶根据函数的与或表达式填写卡诺图
- 4.用卡诺图化简逻辑函数
- - ⑴化简步骤
  - ⑵画圈原则
- 综合题★★★
- 后记：关于列表法（Q-M法）

今天是南方小年，春节渐近，提前祝大家新春快乐！

这节内容斟酌再三，今天终于成稿，主要是希望内容既全面又易于理解，可能比通用教材啰嗦，但是讲的更透。卡诺图既是一种图形化方法，也是一种有助于计算机辅助分析的逻辑化简思想，重要性不言而喻。

1.一句话记住卡诺图

卡诺图是化简逻辑函数的重要工具，是一张二维表格，相当于变形的真值表，主要特点是实现了几何相邻和逻辑相邻的统一，能帮助我们直观地表示逻辑函数并写出最简逻辑式，而判断相邻的直观方法就是对折重合。

2.卡诺图的由来、定义和特点

1953年，贝尔实验室的电信工程师莫里斯·卡诺（Maurice Karnaugh）在维奇图（一种逻辑函数的图形表示）的基础上改进发明了卡诺图，使逻辑函数的化简相较代数法变得简单且直观，从而在数字逻辑设计等领域中得到了广泛应用。

卡诺图是按照逻辑相邻性原则组成的二维表格（方格图）。它跟真值表是完全对应的，其中每个方格相当于真值表中的一行，代表一个最小项或最大项，如图1所示为二变量函数的真值表和卡诺图的对应关系。

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图1

图1中，卡诺图左上角斜线两侧为函数 $Y$ 的输入变量符号，横边和侧边的数字为相应变量的取值，取值的排列按格雷码分布（详见图3、图4、图5），这是实现逻辑相邻（对应变量组合的取值只有一位不同）与几何相邻相统一的原因；图1中，方格中的数字表示最小项或最大项的序号（变量取值组合对应的十进制数），对一个确定的函数，方格中填写相应的函数输出值，如图2所示。

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图2

实际使用中，一般将方格默认为最小项，因此，大部分教材直接用最小项定义卡诺图：

将 ${\boldsymbol{n}}$ 变量的全部最小项各用一个小方格表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，得到的图形称为 ${\boldsymbol{n}}$ 变量最小项的卡诺图。

将卡诺图定义于最小项，主要是基于人们的使用习惯和应用便捷性，因为无论是真值表还是卡诺图，我们最习惯、最容易写的是与或式。但是，我们知道最小项与最大项天然互反，一一对应，逻辑相邻性和几何相邻性也是一样的，所以，如果你更习惯于使用最大项，也可以将每个方格用最大项表达，写出函数的或与式。具体来说，跟真值表一样，函数值为1的所有方格按最小项加起来就是最小项之和式，函数值为0的所有方格按最大项乘起来就是最大项之积式（这些项也可以写成最小项之和式，代表反函数），例如，对图2，有 $Y=\Sigma m(1,2,3)$ ，或 $Y=M_0$ ，或 $\overline{Y}=m_0$ 。

从以上构图和定义可知， $n$ 变量卡诺图由 $2^n$ 个方格组成，最终，任何两个位置相邻和轴对称的方格均具有逻辑相邻性，所谓轴对称就是对折重合，也就是将卡诺图横向或纵向对折，且可以对折分割后再对折，每次对折后所有重合的方格为逻辑相邻项。有的资料又将几何相邻分为位置相邻、相对相邻和相重相邻三种情况，所谓相对相邻是指每一行（或列）的两端，均在对折重合的范畴之内。

图3、图4、图5分别为用最小项表示的三变量、四变量和五变量卡诺图。

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图3

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图4

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图5

以图5为例， $m_0$ 分别与 $m_1$ 、 $m_8$ 、 $m_4$ 、 $m_2$ 、 $m_{16}$ 逻辑相邻。

3.填写卡诺图（用卡诺图表示逻辑函数）

⑴根据真值表填写卡诺图

上文图2即是一例，再举一个三变量的例子，逻辑函数 $F (A, B, C)$ 的真值表如表1所示，将每一行的函数值填入三变量卡诺图对应的最小项方格中，得卡诺图如图6所示。
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图6

⑵根据最小项（或最大项）填写卡诺图

将函数化为最小项（或最大项）表达式，再将相应的最小项方格填1。

例如函数 $F=\Sigma m(1,4,5,6,7)$ ，只需在卡诺图的 $m_1$ 、 $m_4$ 、 $m_5$ 、 $m_6$ 、 $m_7$ 方格中填写1，其余填0，如图6所示。同理，若 $F=\mathrm{∏}M(0,2,3)$ ，则将卡诺图 $m_0$ 、 $m_2$ 、 $m_3$ 方格填0，其余填1，同图6。