时间序列预测 —— LSTM模型
1. 引言
时间序列预测是指在给定的历史时间序列数据上，使用模型来预测未来的数值。长短时记忆网络（Long Short-Term Memory, LSTM）是一种深度学习模型，广泛应用于时间序列预测任务。本文将介绍LSTM模型的理论基础、相关公式，分析其优缺点，并通过Python实现单步预测和多步预测的LSTM模型。
2. LSTM的理论基础
LSTM是一种循环神经网络（Recurrent Neural Network, RNN）的变体，专门设计用于解决长期依赖问题。在传统的RNN中，随着时间步的增加，梯度会迅速衰减或爆炸，导致难以捕捉长期记忆。LSTM通过引入门控机制解决了这一问题。
LSTM的主要组成部分包括三个门：遗忘门、输入门和输出门。
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遗忘门（Forget Gate）：决定需要从细胞状态中丢弃哪些信息。其输出范围在0到1之间，表示需要保留的信息比例。
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输入门（Input Gate）：用于更新细胞状态。通过选择要更新的部分和更新的数值。
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输出门（Output Gate）：决定从细胞状态中输出哪些信息到隐藏状态（作为下一个时间步的输入）。
LSTM的核心思想是通过这些门控制信息的流动，从而更灵活地捕获和利用时间序列中的长期依赖关系。
3. LSTM的公式
3.1 输入门
输入门的计算公式为：
i t = σ ( W i i x t + b i i + W h i h t − 1 + b h i ) \begin{equation} i_t = \sigma(W_{ii}x_t + b_{ii} + W_{hi}h_{t-1} + b_{hi}) \end{equation} it=σ(Wiixt+bii+Whiht−1+bhi)
其中：
- i t i_t it 是输入门的输出。
- x t x_t xt 是当前时间步的输入。 - h t − 1 h_{t-1} ht−1 是上一时间步的隐藏状态。
- W i i W_{ii} Wii 和 W h i W_{hi} Whi 是输入门权重。
- b i i b_{ii} bii 和 b h i b_{hi} bhi 是输入门偏置。
- σ \sigma σ 是Sigmoid激活函数。
3.2 遗忘门
遗忘门的计算公式为：
f t = σ ( W i f x t + b i f + W h f h t − 1 + b h f ) \begin{equation} f_t = \sigma(W_{if}x_t + b_{if} + W_{hf}h_{t-1} + b_{hf}) \end{equation} f
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