4.1 基础统计运算

4.1.1 基础知识

在数据分析的世界里，基础统计运算就像是探索数据的第一步。Numpy 提供了一系列强大的函数来帮助我们快速理解数据的基本特性。

• 均值（Mean）：np.mean() 用于计算数组中元素的平均值。
• 中位数（Median）：np.median() 用于找出数组中的中位数，即排序后位于中间的元素。
• 标准差（Standard Deviation）：np.std() 用于计算数据的分散程度。
• 方差（Variance）：np.var() 用于计算平方差的平均值，反映了数据的波动大小。

这些统计指标能够为我们提供数据分布的初步了解。

4.1.2 完整案例：市场调研分析

假设你进行了一个市场调研，收集了一组关于产品满意度的数据，并希望通过基础统计运算来分析这些数据。

import numpy as np

# 假设这是收集到的满意度评分，范围从 1 到 5
satisfaction_scores = np.array([3, 4, 2, 5, 4, 3, 4, 3, 3, 5, 4])

# 计算基础统计数据
mean_score = np.mean(satisfaction_scores)
median_score = np.median(satisfaction_scores)
std_deviation = np.std(satisfaction_scores)
variance = np.var(satisfaction_scores)

print("Mean Satisfaction Score:", mean_score)
print("Median Satisfaction Score:", median_score)
print("Standard Deviation:", std_deviation)
print("Variance:", variance)

在这个案例中，我们计算了满意度评分的均值、中位数、标准差和方差，这可以帮助我们了解消费者的满意度分布。

4.1.3 拓展案例 1：股市收益分析

假设你想分析一支股票的日收益率，并想了解其波动性。

# 假设这是连续 10 天的股票收益率
daily_returns = np.array([0.02, -0.01, 0.005, -0.007, 0.01, -0.03, 0.04, 0.002, -0.005, 0.003])

# 计算股票收益的基础统计数据
mean_return = np.mean(daily_returns)
median_return = np.median(daily_returns)
std_deviation_return = np.std(daily_returns)
variance_return = np.var(daily_returns)

print("Mean Daily Return:", mean_return)
print("Median Daily Return:", median_return)
print("Standard Deviation of Daily Returns:", std_deviation_return)
print("Variance of Daily Returns:", variance_return)

在这个案例中，我们通过计算日收益率的均值、中位数、标准差和方差，来评估股票的表现和波动性。

4.1.4 拓展案例 2：环境监测数据处理

设想你负责监测某个地区的空气质量，并收集了一系列关于空气污染物的数据。

# 假设这是一周内每天的 PM2.5 指数
pm25_levels = np.array([35, 42, 50, 80, 60, 65, 70])

# 计算 PM2.5 指数的基础统计数据
mean_pm25 = np.mean(pm25_levels)
median_pm25 = np.median(pm25_levels)
std_pm25 = np.std(pm25_levels)
var_pm25 = np.var(pm25_levels)

print("Mean PM2.5 Level:", mean_pm25)
print("Median PM2.5 Level:", median_pm25)
print("Standard Deviation of PM2.5 Levels:", std_pm25)
print("Variance of PM2.5 Levels:", var_pm25)

在这个案例中，我们利用了 Numpy 的统计函数来分析一周内 PM2.5 污染指数的平均水平、中位数、标准差和方差。这有助于我们理解空气质量变化的趋势和波动情况。

通过这些案例，我们可以看到 Numpy 在进行基础统计分析时的强大和便捷。无论是市场调研数据、股市收益率还是环境监测数据，Numpy 都能帮助我们快速得出有意义的统计结论，这对于任何数据分析工作都是至关重要的。

---

4.2 线性代数运算

4.2.1 基础知识

线性代数是数学中处理向量空间和线性方程组的一个分支，它在数据分析和机器学习中扮演着关键角色。Numpy 提供了一整套用于执行线性代数运算的工具，让这些复杂的数学问题变得容易处理。

• 矩阵乘法（Matrix Multiplication）：np.dot() 或 @ 运算符用于计算两个数组的点积，是线性代数中的基本运算之一。
• 矩阵转置（Matrix Transposition）：np.transpose() 或 .T 属性用于计算矩阵的转置。
• 矩阵求逆（Matrix Inversion）：np.linalg.inv() 用于计算方阵的逆。
• 行列式计算（Determinant Calculation）：np.linalg.det() 用于计算矩阵的行列式。
• 特征值和特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）：np.linalg.eig() 用于计算方阵的特征值和特征向量。

这些运算是许多高级数据分析和机器学习算法的基础。

4.2.2 完整案例：解线性方程组

假设你面临一个线性方程组问题，你需要找到一组解使得这些方程满足。

import numpy as np

# 定义一个 3x3 的方阵和一个值向量
A = np.array([[2, 1, 1],
              [1, 3, 2],
              [1, 0, 0]])
B = np.array([4, 5, 6])

# 使用 Numpy 求解线性方程组
X = np.linalg.solve(A, B)

print("Solution of Linear Equations:", X)

在这个案例中，我们利用 Numpy 的 linalg.solve() 方法解决了一个由方阵 A 和向量 B 构成的线性方程组。

4.2.3 拓展案例 1：特征值和特征向量

特征值和特征向量在许多数据分析应用中非常重要，例如主成分分析（PCA）。

# 创建一个 2x2 的方阵
matrix = np.array([[4, 2],
                   [1, 3]])

# 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(matrix)

print("Eigenvalues:", eigenvalues)
print("Eigenvectors:\n", eigenvectors)

这个案例展示了如何计算方阵的特征值和特征向量，这对于理解矩阵的属性和行为非常重要。

4.2.4 拓展案例 2：奇异值分解（SVD）

奇异值分解是一种强大的矩阵分解方法，在信号处理和统计学中应用广泛。

# 创建一个 3x2 的矩阵
matrix = np.array([[1, 2],
                   [3, 4],
                   [5, 6]])

# 进行奇异值分解
U, S, V = np.linalg.svd(matrix)

print("U Matrix:\n", U)
print("Singular Values:", S)
print("V Matrix:\n", V)

在这个案例中，我们对一个矩阵进行了奇异值分解，得到了 U、S 和 V 三个矩阵。SVD 在数据压缩和降维等领域中非常有用。

通过这些案例，你可以看到 Numpy 在处理线性代数问题时的强大能力。无论是解决实际问题还是进行数据分析，线性代数运算都是一个非常宝贵的工具。掌握了这些基础知识和技巧，你将能在数据科学的道路上更进一步！

---

4.3 复杂数学函数

4.3.1 基础知识

在数据分析和科学计算中，我们经常需要超越基础数学运算，使用一些更复杂的数学函数。Numpy 提供了丰富的数学函数库，用于处理这些复杂的运算。

• 三角函数：例如 np.sin(), np.cos(), np.tan()，这些函数在处理周期性数据时非常重要。
• 指数和对数函数：np.exp(), np.log() 等函数用于指数增长或衰减分析，对数转换等。
• 统计分布函数：Numpy 提供了生成不同统计分布的函数，如正态分布 np.random.normal()，均匀分布 np.random.uniform()。

这些复杂数学函数为分析具有特定数学特性的数据提供了强大的工具。

4.3.2 完整案例：信号处理

假设你正在处理一个周期性信号，需要应用三角函数来分析信号的特性。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成一个周期性信号
t = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
signal = np.sin(t)

# 对信号应用三角函数
transformed_signal = np.cos(signal)

# 绘制原始信号和变换后的信号
plt.plot(t, signal, label='Original Signal')
plt.plot(t, transformed_signal, label='Transformed Signal')
plt.legend()
plt.show()

在这个案例中，我们首先生成了一个正弦波形的周期性信号，然后应用余弦函数进行转换，并通过绘图展示了原始信号和转换后的信号。

4.3.3 拓展案例 1：对数转换在数据预处理中的应用

对数转换是数据预处理中常见的一种方法，用于处理具有指数增长或长尾分布的数据。

# 假设这是一组呈指数增长的数据
exponential_data = np.array([1, 10, 100, 1000, 10000])

# 应用自然对数转换
log_transformed_data = np.log(exponential_data)

print("Log Transformed Data:", log_transformed_data)

在这个案例中，我们通过对数转换来平衡数据的增长速率，使其更适合进一步分析。

4.3.4 拓展案例 2：生成和分析正态分布数据

在许多实际情况中，数据被假定为符合正态分布，Numpy 可以用来生成和分析这类数据。

# 生成一个正态分布的数据集
normal_data = np.random.normal(loc=0, scale=1, size=1000)

# 计算这些数据的统计特性
mean = np.mean(normal_data)
std_dev = np.std(normal_data)

print("Mean of Normal Data:", mean)
print("Standard Deviation of Normal Data:", std_dev)

# 绘制数据的直方图
plt.hist(normal_data, bins=30, alpha=0.7)
plt.title("Histogram of Normally Distributed Data")
plt.show()

在这个案例中，我们生成了一组符合正态分布的随机数据，并计算了其均值和标准差，然后绘制了数据的直方图来可视化其分布情况。

通过这些案例，我们看到了 Numpy 在处理复杂数学函数方面的强大能力。从信号处理到数据预处理，再到统计分析，这些复杂数学工具都是解决实际问题和进行数据分析的宝贵资源。掌握它们，将为你在数据科学的旅程上增添强大的翅膀！