Airy光束

在光学领域，傍轴近似下光束传输遵循方程

$$i\frac{\partial \varphi }{\partial z}+\frac{1}{z}\frac{a{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}=0$$

其中$k=\frac{2\pi n}{\lambda }$，为波数。

令$\xi =\frac{x}{x_0},\eta =\frac{z}{k{x}_0^2}$，则上式变为无量纲的形式

$$i\frac{\partial \phi }{\partial \xi }+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial {\eta }^2}=0$$

其中，$\phi$为电场包络。

若

$$\phi (\xi =0,\eta )=Ai(\eta )$$

根据艾里函数的定义，则$\phi$和$\eta$之间存在关系$\frac{{\partial }^2\phi }{\partial {\eta }^2}=\eta \phi$，将其带入无量纲表达式，可得到

$$i\frac{\partial \phi }{\partial \xi }+\eta \phi =0$$

最后解得

$$\phi (\xi ,\eta )=Ai(\eta -({\frac{\xi }{2}}^2))\exp [i(\frac{\eta \xi }{2}-\frac{{\xi }^3}{12})]$$

据此，对其取模，即可画出艾里光束在$x,z$方向的能量分布。

import scipy.special as sc
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xi, eta = np.indices([200,500])/20
Ai, Aip, Bi, Bip = sc.airy(eta-(xi/2)**2)
plt.imshow(np.abs(Ai), cmap='jet')
plt.colorbar()
plt.show()

得图如下，水平方向为传播方向，即$\eta$方向。这个图很有意思，Airy光束能量峰值的位置，并不是一条直线，换言之，Airy光束竟然不沿直线传播，太离奇了。

有限能量Airy光束

如果对初始位置处的光强求积分，可以发现得到的结果是发散的，即理想Airy光束的能量是无穷大，这显然太理想了，一点都不现实。现实中存在的Airy光束，需要添加一个衰减因子$\alpha$，从而初始位置的Airy光束，其分布为

$$\phi (0,\eta )=Ai(\eta )\exp (\alpha \eta )$$

从而一维有限能量Airy光束的波包为

$$\phi (\xi ,\eta )=Ai(\eta -({\frac{\xi }{2}}^2)+i\alpha \xi )\exp [(\alpha \eta -\frac{\alpha {\xi }^2}{2})+i(\frac{\eta \xi }{2}+\frac{{\alpha }^3\xi }{2}-\frac{{\xi }^3}{12})]$$

设$\alpha =0.02$，再绘制一下其光场分布

Ai, Aip, Bi, Bip = sc.airy(eta-(xi/2)**2+0.02j*xi)
plt.imshow(np.abs(Ai), cmap='jet')
plt.colorbar()
plt.show()

结果如下