注：书中对代码的讲解并不详细，本文对很多细节做了详细注释。另外，书上的源代码是在Jupyter Notebook上运行的，较为分散，本文将代码集中起来，并加以完善，全部用vscode在python 3.9.18下测试通过。

Chapter4 Multilayer Perceptron

4.6 Dropout Regularization

4.6.1 Reexamine Overfitting

当面对更多的特征而样本不足时，线性模型往往会过拟合。相反，当给出更多样本而不是特征，通常线性模型不会过拟合。不幸的是，线性模型泛化的可靠性是有代价的，即线性模型没有考虑到特征之间的交互作用。对于每个特征，线性模型必须指定正的或负的权重，而忽略其他特征。

泛化性和灵活性之间的这种基本权衡被描述为偏差-方差权衡（bias-variance tradeoff）。线性模型有很高的偏差，然而，这些模型的方差很低，即它们在不同的随机数据样本上可以得出相似的结果。

深度神经网络位于偏差-方差谱的另一端。与线性模型不同，神经网络并不局限于单独查看每个特征，而是学习特征之间的交互。例如，神经网络可能推断“尼日利亚”和“西联汇款”一起出现在电子邮件中表示垃圾邮件，但单独出现则不表示垃圾邮件。

即使我们有比特征多得多的样本，深度神经网络也有可能过拟合。本节中，我们将探究改进深层网络的泛化性的工具。

4.6.2 Robustness of Disturbances

经典泛化理论认为，为了缩小训练和测试性能之间的差距，应该以简单的模型为目标。简单性以较小维度的形式展现，参数的范数也代表了一种有用的简单性度量。简单性的另一个角度是平滑性，即函数不应该对其输入的微小变化敏感。例如，当我们对图像进行分类时，我们预计向像素添加一些随机噪声应该是基本无影响的。

在训练过程中，我们可以在计算后续层之前向网络的每一层注入噪声。因为当训练一个有多层的深层网络时，注入噪声只会在输入-输出映射上增强平滑性。这个想法被称为暂退法（dropout）。暂退法在前向传播过程中，计算每一内部层的同时注入噪声，这已经成为训练神经网络的常用技术。这种方法之所以被称为暂退法，因为我们从表面上看是在训练过程中丢弃一些神经元。在整个训练过程的每一次迭代中，标准暂退法包括在计算下一层之前将当前层中的一些节点置零。
关键的挑战是如何注入这种噪声。一种想法是以一种无偏向（unbiased）的方式注入噪声。这样在固定住其他层时，每一层的期望值等于没有噪音时的值。我们可以在每次训练迭代中，从均值为零的分布$ϵ\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$采样噪声添加到输入$\mathbf{x}$，从而产生扰动点${\mathbf{x}}^{\prime }=\mathbf{x}+ϵ$，预期是$E[{\mathbf{x}}^{\prime }]=\mathbf{x}$。

在标准暂退法正则化中，通过按保留（未丢弃）的节点的分数进行规范化来消除每一层的偏差，如下所示：

$$\begin{array}{r}{h}^{\prime }=\{\begin{array}{ll}0& \text{ 概率为 }p\\ \frac{h}{1-p}& \text{ 其他情况}\end{array}\end{array}$$

根据此模型的设计，其期望值保持不变，即$E[h^{\prime }]=h$。

4.6.3 Implementation

当我们将暂退法应用到隐藏层，以$p$的概率将隐藏单元置为零时，结果可以看作一个只包含原始神经元子集的网络。比如在下图中，删除了$h_2$和$h_5$，因此输出的计算不再依赖于$h_2$或$h_5$，并且它们各自的梯度在执行反向传播时也会消失。这样，输出层的计算不会过度依赖于$h_1,\dots ,h_5$的任何一个元素。

通常，我们在测试时不用暂退法，然而也有一些例外，比如一些研究人员在测试时使用暂退法，用于估计神经网络预测的“不确定性”：如果通过许多不同的暂退法遮盖后得到的预测结果都是一致的，那么我们可以说网络发挥更稳定。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
import matplotlib.pyplot as plt

#以dropout的概率丢弃X中的元素
def dropout_layer(X, dropout):
    assert 0 <= dropout <= 1
    # 在本情况中，所有元素都被丢弃
    if dropout == 1:
        return torch.zeros_like(X)
    # 在本情况中，所有元素都被保留
    if dropout == 0:
        return X
    #从均匀分布$U[0, 1]$中抽取样本，使得样本和节点一一对应，然后保留那些对应样本大于p的节点
    mask = (torch.rand(X.shape) > dropout).float()
    return mask * X / (1.0 - dropout)

#X= torch.arange(16, dtype = torch.float32).reshape((2, 8))
#print(X)
#print(dropout_layer(X, 0.))
#print(dropout_layer(X, 0.5))
#print(dropout_layer(X, 1.))

#定义模型
num_inputs, num_outputs, num_hiddens1, num_hiddens2 = 784, 10, 256, 256
dropout1, dropout2 = 0.2, 0.5#常见的技巧是在靠近输入层的地方设置较低的暂退概率

class Net(nn.Module):#indicates that Net is inheriting from the nn.Module class
    def __init__(self, num_inputs, num_outputs, num_hiddens1, num_hiddens2,is_training = True):
        super(Net, self).__init__()
        self.num_inputs = num_inputs
        self.training = is_training
        self.lin1 = nn.Linear(num_inputs, num_hiddens1)
        self.lin2 = nn.Linear(num_hiddens1, num_hiddens2)
        self.lin3 = nn.Linear(num_hiddens2, num_outputs)
        self.relu = nn.ReLU()

    def forward(self, X):
        H1 = self.relu(self.lin1(X.reshape((-1, self.num_inputs))))
        # 只有在训练模型时才使用dropout
        if self.training == True:
            # 在第一个全连接层之后添加一个dropout层
            H1 = dropout_layer(H1, dropout1)
        H2 = self.relu(self.lin2(H1))
        if self.training == True:
            # 在第二个全连接层之后添加一个dropout层
            H2 = dropout_layer(H2, dropout2)
        out = self.lin3(H2)
        return out


net = Net(num_inputs, num_outputs, num_hiddens1, num_hiddens2)

#训练和测试
num_epochs, lr, batch_size = 10, 0.5, 256
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)
plt.show()

#简洁实现
net = nn.Sequential(nn.Flatten(),
        nn.Linear(784, 256),
        nn.ReLU(),
        # 在第一个全连接层之后添加一个dropout层
        nn.Dropout(dropout1),
        nn.Linear(256, 256),
        nn.ReLU(),
        # 在第二个全连接层之后添加一个dropout层
        nn.Dropout(dropout2),
        nn.Linear(256, 10))

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)

net.apply(init_weights)

#训练和测试
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)
plt.show()