1.系数矩阵

线性代数的基本问题就是解 n 元一次方程组。例如：二元一次方程组
$$\begin{array}{rl}& 2x-y=0\\ & -x+2y=3\end{array}$$
写成矩阵形式就是 :$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$
其中 A= $\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$被称为系数矩阵（coefficient matrix）。 未知数向量通常记为 x= $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$,而等号右侧的向量记为 b。线性方程组简记为 Ax=b。

2.高斯消元法

消元法是计算机软件求解线形方程组所用的最常见的方法。任何情况下，只要是矩阵 A 可逆，均可以通过消元法求得 Ax=b 的解。
高斯消元法（Gauss elimination）就是通过对方程组中的某两个方程进行适当的数乘和加（jian）和（fa），以达到将某一未知数系数变为零，从而削减未知数个数的目的。

3.置换矩阵 Permutation

置换矩阵，是一种特殊的方阵，其中每行和每列只有一个元素为1，其他元素都为0。它表示了对向量或矩阵的行或列的置换操作。

置换矩阵的逆矩阵即为它的转置 $P^{-1}=P^T$。
置换矩阵 P 是通过对单位阵进行“行交换”得到的。对于 n x n 矩阵存在着 n！个置换矩阵。置换矩阵具有特殊性质$P^{-1}=P^T$ 即 $P^{T}P=I$。

4.逆矩阵 Inverse

逆矩阵，也称为反矩阵，是指一个方阵A的逆矩阵$A^{-1}$，它满足以下条件：
$A和A^{-1}$是方阵。
$A乘以A^{-}1等于单位矩阵I：A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$。
$A^{-1}唯一存在，当且仅当A是可逆矩阵$。

如果矩阵 A 是方阵，若存在逆矩阵 $A^{-1}$，使得 $A^{-1}A=I=A{A}^{-1}$（左逆矩阵等于右逆矩阵）。我们称矩阵 A 可逆（invertible）或者矩阵 A 非奇异（nonsingular）。 反之，如果 A 为奇异（singular），则其没有逆矩阵。它的行列式为 0。另一个等价的说法是，A 为奇异阵，则方程 Ax=0 存在非零解 x。

5.高斯-若尔当消元法

高斯-约旦消元法是常用的求逆矩阵的方法，具体是在用高斯消元法的到上三角矩阵之后，按照若尔当的做法继续消元，用第一行
减去第二行的若干倍，最后原矩阵变为单位阵，这时右侧的矩阵即为逆矩阵。

6.矩阵的 LU 分解

LU分解是一种矩阵分解方法，它将一个矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。其中，L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。LU分解可以用于解决线性方程组和矩阵求逆等问题。

其中 U 为上三角阵（Upper triangular matrix），主元依次排列于它的对角线上，L 为下三角阵（Lower triangular matrix）。

7.三角矩阵

三角矩阵是指在矩阵中，一个方向上（通常是对角线以下或对角线以上）的元素全部为0的矩阵。根据对角线的位置，三角矩阵可以分为上三角矩阵和下三角矩阵两种类型。

下三角矩阵是指矩阵中对角线及其以上的元素全部为非零数，而对角线以下的元素全部为0的矩阵。$如：\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ a& 2& 0\\ b& c& 3\end{array}\right]$

上三角矩阵是指矩阵中对角线及其以下的元素全部为非零数，而对角线以上的元素全部为0的矩阵。$如：\left[\begin{array}{ccc}1& a& b\\ 0& 2& c\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$

三角矩阵通常是指方阵中的上三角矩阵和下三角矩阵，因此三角矩阵通常是方阵，尽管三角矩阵通常是方阵，但也存在非方阵的三角矩阵，例如下三角矩阵形如：$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ a& 2& 0& 0\\ b& c& 3& 0\end{array}\right]$

8.正定矩阵

若矩阵 A 满足对任意向量 x≠0 均有 $x^{T}Ax$>0，则称矩阵为正定矩阵，可以通过特征值、主元和行列式的办法来判断矩阵的正定性。
正定矩阵 A 是对称矩阵，它的逆矩阵 $A^{-1}$也是正定矩阵，逆矩阵的特征值是原矩阵的倒数，因此也都是正数。
给定一个 2 x 2 矩阵，有四个途径判定矩阵是否正定矩阵：
1） 特征值：${\lambda }_1>0，{\lambda }_2>0$
2） 行列式（所有子行列式）：$a>0，ac-b^2>0$
3） 主元：$a>0，(ac-b2)/a>0$
4） 表达式 $x^{T}Ax>0$（x=0 除外）。通常这就是正定的定义，而前三条是用来验证正定性的条件。

$如A=\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 6& 20\end{array}\right]$ ,就是一个正定矩阵；

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