hdu 4507 吉哥系列故事—

hdu 4507 吉哥系列故事——恨7不成妻

吉哥系列故事——恨7不成妻

题意

一个正整数和 $7$ 有关当且仅当满足以下条件之一：

数位中某一位是 $7$
数位和能被 $7$ 整除
这个整数能被 $7$ 整除

统计 $[l, r]$ 内所有和 $7$ 无关的数字的 平方和

思路

这道题需要一点思维。我们先来看一个例子：

如果我们现在处理枚举 $p os$ 位为 $p$ ，低 $p os - 1$ 位的结果已经处理完了，在当前限制下，低 $p os - 1$ 的与 $7$ 无关的数有： $x_1,x_2,x_3$ 三个的话，那么它们的平方和应该是： $x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2$ ，现在我们要加上 $p$ 的贡献，就是将 $p$ 拼接上去， $p$ 这一位的值是 $\cdot 10^{pos - 1}$ ，与 $x_1$ 拼接成： $px_1$ ，有： $(px_1)^2 = (p \cdot 10^{pos-1} + x_1)^2 = (p \cdot 10^{pos-1})^2 + x_1 ^ 2 + 2 \cdot x1 \cdot (p \cdot 10^{pos - 1})$
其实这里就是一个完全平方公式。

那么我们转移就可以通过维护更低位的平方和 $s_2$ ，符合条件的数有多少个 $c n t$ ，符合条件的数的和 $s_1$ ，三种信息。

转移就可以写成：
$s_2\prime = s_2 + 2 \cdot s_1 \cdot p \cdot 10 ^{pos - 1} + cnt \cdot (p \cdot 10 ^ {pos -1})^2$
$s_1\prime = s_1 + cnt \cdot p \cdot 10 ^ {pos - 1}$
$cnt\prime = cnt$

我们可以用 $dp[pos][r_1][r_2]$ 来表示 $p os$ 个全变化位， $r_1$ 为当前数位和模 $7$ 的余数， $r_2$ 为当前数模 $7$ 的余数条件下的信息。

搜到最底层时所有的位已经确定，所以节点只有一个信息 $c n t = 1$ 返回。
$c n t$ 初始化为 $- 1$ 是为了记忆化，这里的 $Z$ 类型当成是一个会自动取模的 $l o n g l o n g$ 就可以

时间复杂度： $\times 7 \times 7)$

#include<bits/stdc++.h>
#define fore(i,l,r)	for(int i=(int)(l);i<(int)(r);++i)
#define fi first
#define se second
#define endl '\n'
#define ull unsigned long long
#define ALL(v) v.begin(), v.end()
#define Debug(x, ed) std::cerr << #x << " = " << x << ed;

const int INF=0x3f3f3f3e;
const long long INFLL=1e18;

typedef long long ll;

template<class T>
constexpr T power(T a, ll b){
    T res = 1;
    while(b){
        if(b&1) res = res * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

constexpr ll mul(ll a,ll b,ll mod){ //快速乘，避免两个long long相乘取模溢出
    ll res = a * b - ll(1.L * a * b / mod) * mod;
    res %= mod;
    if(res < 0) res += mod; //误差
    return res;
}

template<ll P>
struct MLL{
    ll x;
    constexpr MLL() = default;
    constexpr MLL(ll x) : x(norm(x % getMod())) {}

    static ll Mod;
    constexpr static ll getMod(){
       if(P > 0) return P;
       return Mod;
    }

    constexpr static void setMod(int _Mod){
       Mod = _Mod;
    }
    constexpr ll norm(ll x) const{
       if(x < 0){
           x += getMod();
       }
       if(x >= getMod()){
           x -= getMod();
       }
       return x;
    }
    constexpr ll val() const{
       return x;
    }
    explicit constexpr operator ll() const{ 
       return x; //将结构体显示转换为ll类型： ll res = static_cast<ll>(OBJ)
    }
    constexpr MLL operator -() const{ //负号，等价于加上Mod
       MLL res;
       res.x = norm(getMod() - x);
       return res;
    }
    constexpr MLL inv() const{
       assert(x != 0);
       return power(*this, getMod() - 2); //用费马小定理求逆
    }
    constexpr MLL& operator *= (MLL rhs) & { //& 表示“this”指针不能指向一个临时对象或const对象
       x = mul(x, rhs.x, getMod()); //该函数只能被一个左值调用
       return *this;
    }
    constexpr MLL& operator += (MLL rhs) & {
       x = norm(x + rhs.x);
       return *this;
    }
    constexpr MLL& operator -= (MLL rhs) & {
       x = norm(x - rhs.x);
       return *this;
    }
    constexpr MLL& operator /= (MLL rhs) & {
       return *this *= rhs.inv();
    }
    friend constexpr MLL operator * (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res *= rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr MLL operator + (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res += rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr MLL operator - (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res -= rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr MLL operator / (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res /= rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr std::istream& operator >> (std::istream& is, MLL& a){
       ll v;
       is >> v;
       a = MLL(v);
       return is;
    }
    friend constexpr std::ostream& operator << (std::ostream& os, MLL& a){
       return os << a.val();
    }
    friend constexpr bool operator == (MLL lhs, MLL rhs){
       return lhs.val() == rhs.val();
    }
    friend constexpr bool operator != (MLL lhs, MLL rhs){
       return lhs.val() != rhs.val();
    }
};

const ll mod = 1e9 + 7;
using Z = MLL<mod>;

struct node{
    Z cnt; //限制条件下与7无关的数字数量
    Z s1; //与7无关的数字的和
    Z s2; //与7无关的数字平方和

    node(ll cnt = -1, ll s1 = 0, ll s2 = 0): cnt(cnt), s1(s1), s2(s2) {}
    //cnt 初始化为 -1 是等价于memset的操作
};

node dp[20][8][8];
int num[20];
Z ten[20];

node dfs(int pos, int r1, int r2, bool limit){ //r1：当前数位和模7  r2：当前数模7
    if(!pos) return (r1 && r2 ? node(1) : node(0));
    if(!limit && dp[pos][r1][r2].cnt != -1) return dp[pos][r1][r2];
    node res(0);
    int up = (limit ? num[pos] : 9);
    fore(i, 0, up + 1){
        if(i == 7) continue;
        node nxt = dfs(pos - 1, (r1 + i) % 7, (r2 * 10 + i) % 7, limit && i == up);
        res.cnt += nxt.cnt;
        res.s1 += nxt.cnt * i * ten[pos - 1] + nxt.s1;
        res.s2 += nxt.s2 + nxt.cnt * i * i * ten[pos - 1] * ten[pos - 1];
        res.s2 += 2 * nxt.s1 * i * ten[pos - 1];
    }
    if(!limit) dp[pos][r1][r2] = res;
    return res;
}

Z solve(ll x){
    int len = 0;
    while(x){
        num[++len] = x % 10;
        x /= 10;
    }
    return dfs(len, 0, 0, true).s2;
}

int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    std::cout.tie(nullptr);
    ten[0] = 1;
    fore(i, 1, 19) ten[i] = ten[i - 1] * 10;
    int t;
    std::cin >> t;
    while(t--){
        ll l, r;
        std::cin >> l >> r;
        Z ans = solve(r) - solve(l - 1);
        std::cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}