一、B-树、B+树、B*树

搜索树：左子节点<节点<右子节点。
B-树：多路搜索树。
B+树：B-树的变体，更适用于文件系统，如mysql数据库。具体的，适合通过叶子节点的链指针进行区间查找。
B*树：B+树变体，提高了空间使用率$1/2\to 2/3$。
参考文章：一文详解 B-树，B+树，B*树

1 B-树

对于一颗m阶B-树(上图m=3)
特点：

1. 根节点至少有2个子节点，或者为空树。
2. 非叶子节点的子节点数k：$\lceil m/2\rceil \le k\le m$。当一个节点满了，分配一个新节点，把原节点一半的数据移动到新节点，并将该新节点加入到父节点中。此时改动只有该满的节点和其父节点。
3. 非叶子节点的关键字数j：$j=k-1$。
4. 叶子节点在同一层。
5. 对于某个节点的关键字K[1],K[2]…K[M-1]，K[i]<K[i+1]。
6. 对于某个非叶子节点的指针P[1],P[2]…P[M]，P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其他的P[i]指向关键字在范围(K[i],K[i+1])的子树。
7. 关键字分布在整棵树。
8. 搜索过程中可能在非叶子节点结束。时间复杂度等于一次二分查找。

2 B+树

对于一颗m阶B+树(上图m=3)
与B-树的不同：

1. 应文件系统所需的B-树变体。
2. 非叶子节点的关键字个数j：$j=k$。
3. 关键字不保存数据，仅用于索引。数据保存在叶子节点。
4. 对于某个非叶子节点的指针P[1],P[2]…P[M]，P[i]指向关键字在范围[K[i],K[i+1])的子树。
5. 所有叶子节点由一个链指针链接起来。
6. 关键字分布在叶子节点。
7. 搜索过程中得到叶子节点才结束。时间复杂度仍然等于一次二分查找。

3 B*树

对于一颗m阶B*树(上图m=3)
与B+树的不同：

1. 在非根非叶子节点的层增加了兄弟指针。
2. 非叶子节点的子节点数k：$\lceil 2m/3\rceil \le k\le m$，原先是$\lceil m/2\rceil \le k\le m$，提高了块的最低使用率。当一个节点满了，根据兄弟指针检查兄弟节点是否满了，未满则将一部分数据移动到兄弟节点；如果满了则分配一个新节点，把原节点和兄弟节点各自$1/3$的数据移动到新节点，并将该新节点加入到父节点中。此时改动有该满的节点、其父节点、兄弟节点、兄弟指针。

二、AVL树

搜索树：左子节点<节点<右子节点。有些有序的数据搭建成二叉搜索树后，可能会退化成了一个链表。AVL树通过控制平衡因子在[-1,1]内来避免退化。
AVL树：平衡二叉搜索树。即左右子树的高度差小于等于1，并且其子树也是平衡二叉树。
平衡因子：节点的左子树高度 - 节点的右子树高度。用于判断节点的平衡状态。
影响平衡因子的操作：删除节点、添加节点。
2种基础的平衡化操作：左旋、右旋。
4种需要平衡操作的情况：LL、RR、LR、RL。

需要平衡的情况	状态	操作
LL	平衡因子为2，左子树平衡因子为1	右旋
RR	平衡因子为-2，右子树平衡因子为-1	左旋
LR	平衡因子为2，左子树平衡因子为-1	对左子树左旋、再对该节点右旋
RL	平衡因子为-2，右子树平衡因子为1	对右子树右旋、再对该节点左旋

参考文章：详解 AVL 树（基础篇）

1 左旋

逆时针旋转，如果节点B有左子树。则将B的左子树作为A的右子树。

2 右旋

顺时针旋转，如果节点B有右子树。则将B的右子树作为C的左子树。

3 LL

状态：节点n的平衡因子为2，左节点i的平衡因子为1。
平衡操作：对节点n进行一次右旋操作。

4 RR

状态和操作与LL对称。

5 LR

状态：节点n的平衡因子为2，左节点i的平衡因子为-1。
平衡操作：1先对节点i进行一次左旋操作，2再对节点n进行一次右旋操作。

6 RL

状态和操作与LR对称。

三、红黑树

搜索树：左子节点<节点<右子节点。有些有序的数据搭建成二叉搜索树后，可能会退化成了一个链表，时间复杂度最高是O(n)。AVL树通过控制平衡因子在[-1,1]内来避免退化，使得其查找的时间复杂度是O(logn)，但是增删节点时的平衡成本很高，所以出现了红黑树。

红黑树：自平衡二叉搜索树。
叶子节点：null节点，即叶子节点没有数据。所以下图中那些没有子节点的非null节点，默认是有2个null的叶子节点。
参考文章：最通俗易懂入门红黑树(R-B Tree)、
图解红黑树的插入及调整过程+源码解读、 红黑树(二):删除操作
红黑树特点：

1. 节点颜色有黑色、红色2种。
2. 根节点为黑色。
3. 叶子节点为黑色。
4. 父子节点不能同时为红色。
5. 从一个节点出发，到它的任意一个叶子节点，经过的黑色节点数相同。
   

上述特点得出的一些推论：

1. 根据特点4和5，从一个节点出发，到它的叶子节点的最长路径长度不会超过最短路径的2倍。此时最长路径是红黑间隔的，最短路径是全黑的。
2. 根据特点5，新插入的节点为红色节点。此时，不会破坏特点5但有可能破坏特点4，需要做一些变色和旋转的操作。

1 插入操作

红黑树也是二叉搜索树，当有新的节点时，根据最小右大的规则先找到它的插入位置（即它的父节点以及它是左孩子还是右孩子），然后标记为红色，最后根据红黑树的特点，进行变色和旋转。
变色和旋转的判断规则：

情况	变色	旋转
父节点是黑色	无	无
父节点是红色且叔父节点是红色	有	无
父节点是红色且叔父节点是黑色	有	有

1.1 父节点是黑色

例如上图，插入66，此时仍然满足红黑树的特点。

1.2 父节点是红色且叔父节点是红色

例如上图，插入51。此时，49和51都是红色，所以不满足特点4，需要进行变色。
第一步，应该就是将父节点49和叔父节点43变成黑色，以满足特点4；
第二步，将祖父节点45变成红色，使得更上层的节点满足特点5。
第三步，此时递归到祖父节点，判断其是否出现违反特点4的情况，有则重复第一步和第二步，没有则执行第4步。
第四步：如果根节点变成了红色，重新染黑。

步骤图：

最终结果图：

1.3 父节点是红色且叔父节点是黑色

如果插入65，则其会成为66的左孩子。此时，叔父节点null是黑色，导致父节点66变成黑色后，该分支的路径比叔父节点的路径多了1个黑色，不满足特点5，所以需要进行旋转。其实旋转的目的和AVL树一样，插入节点后导致出现平衡因子=2或-2的情况，需要平衡。

不平衡情况有LL、RR、LR、RL四种，在AVL树中有说明。对于红黑树，旋转(LR和RL需要先旋转变为LL和RR)-变色-旋转。
LL：插入65。先变色，然后对祖父节点69进行右旋。

RR：插入70。先变色，然后对祖父节点66进行左旋。

LR：插入67。先对父节点左旋变成LL，然后根据LL的操作先变色再对祖父节点69右旋。

RL：插入68。先对父节点右旋变成RR，然后根据RR的操作先变色再对祖父节点66右旋。

2 删除操作

删除比插入要考虑更多因素。首先，删除可能删的是中间层的节点，其次，删除的节点可能是黑色。
按照删除的位置，有3种情况，有2个孩子、有1个孩子、没有孩子。

情况	处理方式	是否按颜色分类处理
有2个孩子	先根据中序遍历找到后继节点(右子树中最小的节点)，然后替换掉。此时情况转变为(有1个孩子、没有孩子)，按照这2种情况处理。	看后继节点是否有孩子
有1个孩子	直接删除，然后让父节点指向子节点，子节点变色	否
没有孩子	根据节点(当前节点、父节点、兄弟节点)颜色分情况处理	是

2.1 有2个孩子

如果要删除节点-1，则先跟后继节点0替换，问题转化为删除0(没有孩子)，需要考虑节点颜色进行处理。
如果要删除节点4，则先跟后继节点5替换，问题转化为删除5(有1个孩子)，不需要考虑节点颜色。

2.1 有1个孩子

删除节点D
颜色判断：D一定是黑色，孩子一定是红色。
反证：如果该孩子是黑色，那么节点D的2个分支路径黑色节点数不相等(1≠2)，不满足特点5。所以孩子是红色，再根据特点4，D是黑色。
操作：删除D，然后将子节点变黑色并作为父节点的新子节点。

2.3 没有孩子

需要根据节点颜色，分6种情况。
由于对称的情况操作是类似的，所以这里后3种情况都是以删除节点是其父亲节点的左子节点来讨论。

2.3.1 节点为红色

删除节点D
颜色判断：根据特点4，父节点必然是黑色。
操作：直接删除即可，不影响特点5。

2.3.2 父节点为红色，兄弟节点无孩子

删除节点D
颜色判断：根据特点4，当前节点和其兄弟节点为黑色。
操作：先删除节点；然后将父节点变成黑色；最后将兄弟节点变成红色。

2.3.3 父节点为红色，兄弟节点有孩子

删除节点D
颜色判断：兄弟节点的孩子为红色，否则父节点的左右分支不满足特点5。
操作：先删除节点D；然后判断父节点P是RL还是RR类型，如果是RL则右旋兄弟节点B得到RR类型；对父节点P、兄弟节点B和兄弟孩子节点BR进行变色(如果是RL转RR的不需要对BR变色)；对父节点P左旋。

2.3.4 节点为黑色，父节点为黑色，兄弟节点有左孩子

删除节点B
颜色判断：兄弟节点的孩子为红色，否则父节点的左右分支不满足特点5。
操作：先删除节点B；此时父节点P是RL类型，需要进行右旋得到RR，并且对节点D和DL变色使得满足特点4；接着对节点P进行做左旋；最后对DL进行变色使得满足特点5。

2.3.5 节点为黑色，父节点为黑色，兄弟节点只有右孩子

删除节点B
颜色判断：同2.3.4。
操作：比2.3.4少一次右旋。先删除节点B；接着对节点P进行做左旋；最后对DR进行变色使得满足特点5。

2.3.6 节点为黑色，父节点为黑色，兄弟节点无孩子

删除节点B
操作：先删除节点B，然后将兄弟节点D染成黑色。此时，P这个分支满足特点4和5，但是P的更上层左右分支不满足特点5，所以需要向上递归。
递归过程：如果P的父节点是红色，则根据2.3.2和2.3.3来处理。如果是黑色，则根据2.3.4/2、2.3.5、2.3.6处理。（这里可能还得再细化一下，使得具体操作可以递归处理）