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力扣递归算法题
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数据结构与算法
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前言：这个专栏主要讲述动态规划算法，所以下面题目主要也是这些算法做的
我讲述题目会把讲解部分分为3个部分：
1、题目解析
2、算法原理思路讲解
3、代码实现
地下城游戏
题目链接：地下城游戏
题目
恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。
骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。
有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。
为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。
返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。
注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。
示例 1：
输入：dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]] 输出：7 解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下 ，则骑士的初始健康点数至少为 7 。
示例 2：
输入：dungeon = [[0]] 输出：1
提示：
m == dungeon.lengthn == dungeon[i].length1 <= m, n <= 200-1000 <= dungeon[i][j] <= 1000
解法
算法原理讲解
我们这题使用动态规划，我们做这类题目可以分为以下五个步骤
- 状态显示
- 状态转移方程
- 初始化（防止填表时不越界）
- 填表顺序
- 返回值
- 状态显示
- 这道题如果我们和以前的题目一样定义成：从起点开始，到达 [i, j] 位置的时候，所需的最低初始健康点数。 那么我们分析状态转移的时候会有⼀个问题：那就是我们当前的健康点数还会受到后⾯的路径的影响。也就是从上往下的状态转移不能很好地解决问题。
- 这个时候我们要换⼀种状态表示：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需要的最低初始健康点数。这样我们在分析状态转移的时候，后续的最佳状态就已经知晓。 综上所述，定义状态表示为： dp[i][j] 表示：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数。
- 状态转移方程
对于
dp[i][j]
，从
[i, j]
位置出发，下⼀步会有两种选择（为了⽅便理解，设
dp[ i ][ j ] 的最终答案是
x
）
- 走到右边，然后⾛向终点 。那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要大于等于右边位 置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i][j + 1] 。 通过移项可得： x >= dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最小值，因此这种情况下的 x = dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] ；
- ⾛到下边，然后⾛向终点。那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要⼤于等于下边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i + 1][j] 。 通过移项可得： x >= dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最小值，因此这种情况下的 x = dp[i + 1][j] -dungeon[i][j] ；
综上所述，我们需要的是两种情况下的最⼩值，因此可得状态转移⽅程为：
dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]
但是，如果当前位置的
dungeon[i][j]
是⼀个⽐较⼤的正数的话，
dp[i][j]
的值可能变成 0
或者负数。也就是最低点数会⼩于
1
，那么骑⼠就会死亡。因此我们求出来的
dp[i][j] 如果⼩于等于
0
的话，说明此时的最低初始值应该为
1
。处理这种情况仅需让
dp[i][j] 与
1
取⼀个最⼤值即可： dp[i][j] = max(1, dp[i][j])。
- 初始化（防止填表时不越界）
在
dp
表最后⾯添加⼀⾏，并且添加⼀列后，所有的值都先初始化为⽆穷⼤，然后让 dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1 即可。
- 填表顺序
根据「状态转移⽅程」，我们需要「从下往上填每⼀⾏」，「每⼀⾏从右往左」。
- 返回值
根据「状态表⽰」，我们需要返回
dp[0][0]
的值。
代码实现
class Solution {
public:
int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon)
{
int m = dungeon.size();
int n = dungeon[0].size();
vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1,INT_MAX));
// 初始化
dp[m][n-1] = dp[m-1][n] = 1;
// 填表
for (int i = m - 1; i >= 0; i--)
{
for (int j = n - 1; j >=0; j--)
{
dp[i][j] = min(dp[i+1][j],dp[i][j+1]) - dungeon[i][j];
dp[i][j] = max(1,dp[i][j]); // 防止正数太大
}
}
return dp[0][0];
}
};
