LeetCode刷题--- 下降路径最小和

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前言：这个专栏主要讲述动态规划算法，所以下面题目主要也是这些算法做的

我讲述题目会把讲解部分分为3个部分：
1、题目解析

2、算法原理思路讲解

3、代码实现

下降路径最小和

题目链接：下降路径最小和

题目

给你一个 n x n 的方形整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

示例 1：

输入：matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]
输出：13
解释：如图所示，为和最小的两条下降路径

示例 2：

输入：matrix = [[-19,57],[-40,-5]]
输出：-59
解释：如图所示，为和最小的下降路径

提示：

n == matrix.length == matrix[i].length
1 <= n <= 100
-100 <= matrix[i][j] <= 100

解法

题目解析

给你一个mxn的方形整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径的最小和 。
下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。
在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。

算法原理讲解

我们这题使用动态规划，我们做这类题目可以分为以下五个步骤

状态显示
状态转移方程
初始化（防止填表时不越界）
填表顺序
返回值

状态显示

dp[i][j] 表⽰：到达 [i, j] 位置时，所有下降路径中的最⼩和。

状态转移方程

对于普遍位置 [i, j] ，根据题意得，到达 [i, j] 位置可能有三种情况：

从正上⽅ [i - 1, j] 位置转移到 [i, j] 位置；
从左上⽅ [i - 1, j - 1] 位置转移到 [i, j] 位置；
从右上⽅ [i - 1, j + 1] 位置转移到 [i, j] 位置；

我们要的是三种情况下的「最⼩值」，然后再加上矩阵在 [i, j] 位置的值。于是 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j + 1])) + matrix[i][j]。

初始化（防止填表时不越界）

在本题中，需要「加上⼀⾏」，并且「加上两列」。所有的位置都初始化为⽆穷⼤，然后将第⼀⾏

初始化为 0 即可。

填表顺序

根据「状态表⽰」，填表的顺序是「从上往下」。

返回值

注意这⾥不是返回 dp[m][n] 的值！

题⽬要求「只要到达最后⼀⾏」就⾏了，因此这⾥应该返回「 dp 表中最后⼀⾏的最⼩值」。

代码实现

时间复杂度：O( $2^{n}$ )，需要计算每个坐标的和最小下降路径。
空间复杂度：O( $2^{n}$ )，需要记录每个坐标的和最小下降路径。因为每个坐标的和最小下降路径仅与上一行有关，因此可以使用滚动数组，使得空间复杂度降低为 O(n)。

class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) 
    {
        // 1.状态显示---------------》dp[i][j]表示最小路径
        // 2.状态转移方程
        // 3.初始化
        // 4.填表方向
        // 5.返回值


        int n = matrix.size();
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 2, INT_MAX));

        // 初始化第一行
        for (int j = 0; j < n + 2; j++)
        {
            dp[0][j] = 0;
        }

        // 填表
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1])) + matrix[i - 1][j - 1];
            }
        }

        int ret = INT_MAX;

        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            ret = min(ret, dp[n][i]);
        }

        return ret;
    }
};