《离散数学》：代数系统和图论导论

一、代数系统

代数系统是数学中的一个重要概念，它涉及一组对象以及定义在这些对象上的运算规则。代数系统可以是抽象的，也可以是具体的。

在抽象代数中，代数系统通常由一组元素和一组操作（或称为运算）组成。这些操作可以是二元的（例如加法和乘法）或一元的（例如取负）。代数系统的运算必须符合一定的性质，例如结合律、交换律、单位元和逆元等。常见的抽象代数系统包括群、环、域和向量空间等。

本文中关于代数系统的讨论部分和前文《代数入门》很相似，主要做了一些拓展和案例补充。

（〇）代数系统

只要满足两个条件就是一个代数系统：

集合非空
运算封闭

（一）广群

满足最低要求的代数系统，就是广群。

（二）半群

满足结合律的广群就是半群。

半群的性质：

如果 S 是一个有限半群，那么 S 中一定有等幂元；
如果 S 是一个含幺半群（独异点），则运算表中没有两行或者两列是相同的；

（三）含幺半群

集合中对于运算*存在幺元 e 的半群就是含幺半群，也叫独异点。

（四）群

对于每一个元素都存在逆元的含幺半群，就是群。

可以看到，群是具有最严格的定义：

封闭性
结合性
含有幺元
含有逆元

常见的一个群为：<P(S)，对称差>是一个群，幺元为空集，每个元素的逆元都是自己。

群的性质：

群无零元；
群G 中，ax=b的解是唯一的，因为每个元素都有逆元，x = a^-1b；
群的计算满足消去律，或者群中的元素都是可约的；
如果一个有限含幺半群，满足可约，那么一定是一个群。（可约去就暗示了该群含有幺元，那么自然就是一个群了）；
群众的等幂元素一定是幺元。证明： xx=x=xe，则 x = e；
有限群运算表中每一行或每一列都是群 G 中的元素一个置换；（两行元素如果双射，就是一个置换）
如果 S 是 G 的子集，且 S 是有限的，只要运算*在 S 中封闭，那么 S 一定是一个子群；
如果 S 是 G 的子集，S中的任意两个元素a、b，只要满足 a*b^-1也属于 S，那么 S 就是一个子群。注意这里没有对集合 S 是否有限作出限制。

这就是最基本的群的部分性质，底下的讨论相较于群，增加了部分性质。

（五）阿贝尔群

如果群中的元素对于操作*是可交换的，就称为阿贝尔群或者交换群，也叫加法群。

（六）循环群

群中的所有的元素都可由一个元素 x 通过不断地*运算生成，则称为循环群，x 被称为生成元，事实上生成元往往不止一个。

这里有几个重要的结论：

由拉格朗日定理，n 阶群的子群，其阶数一定是 n 的因数；
素数阶的群一定是循环群，由拉格朗日定理，素数阶的群一定只有两个平凡子群；
四阶群按照分类，只能分为克莱因四元群和四阶循环群；
循环群是加法群；
对于n 阶循环群 G，如果 a 是一个生成元，则：a^n=e；
对于无限循环群 G，如果 a 是一个生成元，那么另一个唯一一个生成元为 a^-1；

（七）置换群

任何一个有限群，事实上都可由一个置换群表示。

置换群（Permutation Group）是群论中的一个重要概念，它研究的是一组对象的排列及其上的运算。在置换群中，对象的排列通过置换操作来描述，而置换群则是由这些置换构成的群。

具体来说，给定一个有限集合X，一个置换是对X中元素的重新排列。每个置换可以表示为一个映射，将集合X中的元素映射到另一个元素上。这种映射可以用一个有序的元素列表来表示，其中列表中的第i个元素表示将原始集合中的第i个元素映射到的新位置。

置换群是由所有可能的置换组成的群，它的运算是置换的复合。换句话说，对于两个置换，可以将它们按照给定的顺序，依次执行，得到一个新的置换。这个复合运算满足结合律、单位元和逆元的群性质。

（八）环

环（Ring）是抽象代数中的一个重要的代数结构。它由一个非空集合R和两个二元运算（加法和乘法）组成，分别记作"+“和”·"。

可以看到，对于乘法运算（·）并没有要求交换律和逆元。因此，环（Ring）可以定义为：

加法运算（+）是交换群；
乘法运算（·），可结合，也是含幺半群
后者对前者满足分配率。

一个经典的例子就是<A，+，· >，其中 A 是矩阵。显然矩阵（方阵）加法是一个交换群，矩阵乘法是一个半群（可结合，有幺元，也是含幺半群），，乘法对加法满足分配率。因此**<A，+，· >就是一个经典的环**。

事实上，矩阵运算还是一个含幺环，因为乘法具有幺元 E。

环有以下分类：

如果乘法存在幺元，则为含幺环；
如果乘法满足交换律，则为交换环；
对于任意的 a*b=0，一定有 a=0或者 b=0，则为无零因子环；
如果都满足上面三个条件，则是整环！

（九）域

域的定义比环更加严格，可定义为：

加法运算<F，+ > 是交换群；
乘法运算<F-{0}，· > 是交换群；
后者对前者满足分配率。

比如**<R, +, * >**就是一个经典的域。它满足加法交换群，去除0后，也是交换群，同时后者对于前者满足分配率。域一定是环，且是整环。

二、图论导论

（一）图的分类

图是由结点和边构成，又分为有向图、无向图、带权图、无权图、混合图等等，这些概念很简单，不再赘述。

完全图：任意两个节（结）点之间都有边，记为 Kn图，n 为节点数目；
节点的度：连接的边的个数，细分为出度、入度；

1、结点的度

一些定理：

握手定理，结点的度的和等于边的两倍；
对于有向图：度数之和为 0；
奇数度的结点的个数一定为偶数个。

2、子图与生成子图

生成子图结点构成的集合不变，子图没有要求，真子图结点会少一些。

3、图的同构

拓扑结构不变的图，就是互为同构。
目前没有一个通用的方法来判断两个图是否同构，只能得到同构的图的一些必要的性质：

同构的图的结点数目相同；
同构的图的边的数目相同；
同构的图度数相同的结点的数目相同。

这些必要条件都是简单的易于理解的，但是没有一个充分条件能用来判断两个图是否同构。这里给出一个尝试，就是按照顺序分别算出两个图的矩阵表示，然后判断两个矩阵是否相等，如果相等就同构。但是这个过程的难点在于无法按照顺序算出矩阵表示，尤其当结点数目很大时。

（二）图的连通性

1、路与回路

有以下基本概念：

如果边没有重复，就是简单路径，（简单回路），称为迹；
如果点没有重复，就是基本路径，（基本回路），称为通路；

路的性质和推论：

如果n个节点的图存在一条通路，那么这条通路最长不会超过 n-1；
图中任何一个圈的长度都不会超过 n；

2、无向图的连通性

这里牵扯到一点割集、割点、边割集、割边或者桥的概念，很简单。
常见的结论有：

如果 v 是连通图G 的一个割点，那么 G-{v}是一个非连通图；
完全图没有点割集，也没有割边（有边割集，注意区别）；
非连通图的点割集和边割集都是空集，这是人为规定。

3、有向图的可达性

对于有向图的可达性，有以下定义：

如果任意两个点，至少从一个点到另一个点可达，那么 G 就是单侧连通的；
如果任意两个节点之间都是可达的，则是强连通图；
如果略去所有方向后，有向图成为了一个连通无向图，则有向图 G 是弱连通的；

一些性质：

如果强连通图只有一条回路，那么这个回路至少包含每个节点一次；
如果 P是 G 的一个子图，并且 P 是强连通的，且不存在包含 P 的更大强连通子图，那么 P就是 G 的强分图。
在有向图 G 中，每个节点只能存在于一个强分图中。如果存在于两个，那么这个这个节点就是两个强分图的枢纽，那么这两个图就成为一个图，因此矛盾。

（三）图的矩阵表示

矩阵表示的图，具有诸多的特点，能更简单的存储在计算机中，被各种算法计算，也更简洁，可以压缩。

1、邻接矩阵

对于一个无向图：

邻接矩阵一定是对阵的；
邻接矩阵主对角线元素为 0，因为自己与自己不邻接；
某行（列） 1 的个数为该结点的度

对于一个有向图，则有出度和入度概念。

2、计算两个节点之间的路的数目

定理：设图 G 的邻接矩阵为 A，则结点 $v_i$ 、 $v_j$ 之间长度为 k 的路的数量为矩阵 $A^{k}$ 的 $a_i,_j$ 。这个定理的证明很有意思，比较简单，不再赘述。

这个定理有以下几个简单推论：

如果对于 m = 1,2,3,...,n-1都有 $A^{m}$ 中 $a_i,_j$ = 0，则说明结点 $v_i$ 、 $v_j$ 之间没有路，它们必定位于不同的连通分支；
结点 $v_i$ 、 $v_j$ 之间的最小距离就是使得 $A^{m}$ 中 $a_i,_j$ = 1 成立的最小值 m；
$A^{m}$ 的元素 $a_i,_i$ 就是开始并结束于 $v_i$ 的长度为m 的回路的数量。

3、可达性矩阵

可达矩阵研究的是结点 $v_i$ 、 $v_j$ 之间有没有路的问题，这个问题很好解决。

方法一：我们只需要把上面的 $A^{m}$ 进行逻辑求和，不等于 0 的元素置为 1，就得到了可达性矩阵。 $a_i,_j$ = 1 就意味着结点 $v_i$ 、 $v_j$ 之间可达。
方法二：假设关系< $v_i$ 、 $v_j$ > 意味着可达，我们很容易得到一个矩阵 A ，矩阵中 $a_i,_j$ = 1 就意味着两点距离为 1，可达。但是有时候，存在两个节点之间没有长度为 1 的路，但是有长度等于 m 的路，因此我们需要对 A 进行不断的复合，得到长度为 2、3、... 、m 的路，之后再进行逻辑加。仔细一想，这就是再求传递闭包！因此，整个过程本质上就是在求传递闭包。

因此，最简单的方法就是利用 Warshall 算法进行求解！

怎么判断一个关系矩阵A是否具有对称性？

计算对称闭包，如果等于 A 就具有对称性

怎么判断一个关系矩阵 A 是否具有传递性？

计算传递闭包，如果等于 A 就具有传递性

计算传递闭包本质上是在干什么？

计算关系 A 中所有元素的关系，直接的间接的。这点与可达矩阵如出一辙，因为图描述的本来就是结点之间的拓扑关系！

4、有向图的可达矩阵

有向图和无向图的可达性矩阵计算方式一模一样。但是有向图的强分图怎么算呢？

定理：有向图 G 是强连通的当且仅当其可达性矩阵 P 的所有元素均为１。

是这么理解的：设 P 是图 G 的可达性矩阵，其元素为 $p_i,_j$ ， $P^{T}$ 是 P 的转置矩阵。则图G的强分图可由P∧ $P^{T}$ 求得。因为从 $v_i$ 到 $v_j$ 可达，则 $p_i,_j$ =1；从 $v_j$ 到 $v_i$ 可达，则 $p_i,_j$ =1。于是当且仅当vi与vj相互可达时，P∧ $P^{T}$ 的第(i，j)元素的值为1。