二分查找

二分查找(binary search)是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮缩小一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

例：给定一个n 的数组 nums ，元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素 target 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 −1 。示例如图所示。

如上图所示，我们先初始化指针 i=0 和 j=n−1 ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 [0,n−1] 。请注意，中括号表示闭区间，其包含边界值本身。

接下来，循环执行以下两步。

计算中点索引 m= ⌊(i+j)/2⌋，其中 ⌊⌋ 表示向下取整操作。
判断 nums[m] 和 target 的大小关系，分为以下三种情况。当 nums[m] < target 时，说明 target 在区间 [m+1,] 中，因此执行 i=m+1 。当 nums[m] > target 时，说明 target 在区间 [i,m−1] 中，因此执行 j=m−1 。当 nums[m] = target 时，说明找到 target ，因此返回索引m 。

若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空。此时返回 −1 。

值得注意的是，由于i 和 j 都是 int 类型，因此 i+j 可能会超出 int 类型的取值范围。为了避免大数越界，我们通常采用公式 m=⌊i+(j−i)/2⌋ 来计算中点。

/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(vector<int> &nums, int target) {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    int i = 0, j = nums.size() - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)    // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        else // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}

时间复杂度为O(log⁡n) ：在二分循环中，区间每轮缩小一半，循环次数为 $log_{2}n$ ⁡。