拉普拉斯方程解决有介质导体球壳问题

article2024/11/26 20:28:31/文章来源:https://blog.csdn.net/m0_52555753/article/details/131289506

一个内径和外径分别为 $R_2$ 和 $R_3$ 的导体球壳，带电荷 $Q$ ，同心地包围着一个 $R_1$ 的导体球 $(R_1<R_2)$ ，使这个导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷

我们不难发现，球对称性非常强，电势只和半径有关系

所以我们可以假设电势为

$\varphi(R)=a+ \frac{b}{R}$

我们假设

$\varphi_1=a+\frac{b}{R}(R>R_3)$

$\varphi_2=c+\frac{d}{R}(R_2>R>R_1)$

下面写出四个边界条件

$\varphi_1|_{R-> +\infty}=0,\varphi_2|_{R=R_1}=0$

$\varphi_2|_{r=R_2}=\varphi_1|_{r=R_3}$

导体表面带电量为 $Q$

因为导体球壳表面电量的计算公式是 $-\varepsilon \frac{\partial \varphi}{\partial n}|_{S_i}=\sigma$

我们不难得到

$-\int_S\frac{\partial \varphi_1}{\partial r}dS+\int_S\frac{\partial \varphi_2}{\partial r}dS=\frac{Q}{\varepsilon_0}$

$b (4 \pi )-d (4 \pi )=\frac{Q}{\varepsilon_0}$

我们可以得到

$a=0$

$c+\frac{d}{R_1}=0$

$c+\frac{d}{R_2}=a+\frac{b}{R_3}=>c+\frac{d}{R_2}=\frac{b}{R_3}=>d(\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1})=\frac{b}{R_3}=>b=\frac{\frac{1}{R_3}}{\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}}d$

$b-d=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0}=>\frac{\frac{1}{R_3}}{\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}}d -d=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} =>\frac{\frac{1}{R_3}-\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_1}}{\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}} d=\frac{Q}{ 4 \pi \varepsilon_0} \\ =>d=\frac{\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}}{\frac{1}{R_3}-\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_1}} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0}$

我们可以解得

$a=0 \\ b= \frac{\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}}{\frac{1}{R_3}-\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_1}} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \\ c=\frac{\frac{1}{R_3}}{-R_1 (\frac{1}{R_3}-\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_1})} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0}\\ d=\frac{\frac{1}{R_3}}{\frac{1}{R_3}-\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_1}} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0}$

电容率为 $\varepsilon$ 的介质球置于均匀外电场 $E_0$ 中，求电势

$\varphi_1$ 表示球外电势， $\varphi_2$ 表示球内电势

$\varphi_1 =\sum_{n}(a_n R^{n} +\frac{b_n}{R^{n+1}})P_n cos(\theta)$

$\varphi_1 =\sum_{n}(c_n R^{n} +\frac{d_n}{R^{n+1}})P_n cos(\theta)$

（1）在无穷远处

$\varphi_1 -> -E_0 R cos(\theta)=-E_0 rP_1 cos(\theta)$

因而

$a_1=-E_0,a_n =0 (n \neq 1)$

(2) 在 $R=0$ 处, $\varphi_2$ 应该为有限值，因此

$d_n=0$

(3)在介质球面上 $(R=R_0)$ ：

$\varphi_1=\varphi_2,\varepsilon_0\frac{\partial \varphi_1}{\partial R}=\varepsilon \frac{\partial \varphi_2}{\partial R}$

比较系数，即可求得方程的解

总结一下可以发现

泊松方程和拉普拉斯方程的核心都在于如何寻找边界条件

在这些题目中，利用球坐标系的公式进行展开，利用对称性

牺牲掉部分精度，来换取一个比较容易的求解

是一个很值得参考的方法

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