excel统计分析——两因素有重复方差分析

参考资料：生物统计学

无重复观测值的两因素方差分析只能研究两个因素的主效应，不能考察因素间的交互作用，只有在确定因素间不存在交互作用时才能进行无重复观测值的试验和分析。为了准确估计因素的主效应、交互作用和随机误差，每个水平组合都应设置重复。

设A、B两因素分别有a、b个水平，共有ab个水平组合，每个水平组合有n次重复，则共有abn个观测值。线性模型可以表示为： $x_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+(\alpha\beta)_{ij}+\varepsilon _{ijk}$

其中，i=1,2,...,a；j=1,2,...,b；k=1,2,...,n；μ为总平均数； $\alpha_i$ 为 $A_i$ 的效应； $\beta_j$ 为 $B_j$ 的效 $\sum_{k=1}^{n}(\alpha \beta)_{ij}=\sum_{i=1}^{a}(\alpha \beta)_{ij}=\sum_{j=1}^{b}(\alpha \beta)_{ij}=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\alpha \beta)_{ij}=0$ 应； $(\alpha \beta)_{ij}$ 为 $A_i$ 与 $B_j$ 的互作效应； $\varepsilon _{ijk}$ 为随机误差，相互独立且都服从 $N(0,\sigma ^2)$ 。

若 $\mu_{i.}$ 、 $\mu_{.j}$ 、 $\mu_{ij}$ 分别为 $A_i$ 、 $B_j$ 、 $A_iB_j$ 对应的平均数，则：

$\alpha_i=\mu_{i.}-\mu$

$\beta_j=\mu_{j.}-\mu$

$(\alpha \beta)_{ij}=\mu_{ij}-\mu_{i.}-\mu_{.j}+\mu=\mu_{ij}-\alpha_i-\beta_j-\mu$

且

$\sum_{i=1}^{a}\alpha_i=\sum_{j=1}^{b}\beta_j=0$

$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\alpha \beta)_{ij}=0$

1、平方和分解

与无重复观测值的两因素数据相比，有重复观测值的两因素数据的平方和与自由度的分解多出两个因素的互作效应项，即 $SS_T=SS_A+SS_B+SS_{AB}+SS_e$ 。

$SS_T=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{n}(x_{ijk}-\bar{x_{..}})^2$

$=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{n}[(\bar{x_{i.}}-\bar{x_{..}})+(\bar{x_{.j}}-\bar{x_{..}})+(\bar{x_{ij}}-\bar{x_{i.}}-\bar{x_{.j}}+\bar{x_{..}}))+(x_{ijk}-\bar{x_{ij}})]^2$

$=bn\sum_{i=1}^{a}(\bar{x_{i.}}-\bar{x_{..}})^2+an\sum_{j=1}^{b}(\bar{x_{.j}}-\bar{x_{..}})^2+n\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{x_{ij}}-\bar{x_{i.}}-\bar{x_{.j}}+\bar{x_{..}})^2+\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{n}(x_{ijk}-\bar{x_{ij}})^2$

所以：

$SS_T=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{n}(x_{ijk}-\bar{x_{..}})^2=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{n}x_{ijk}^2-C$

$SS_A=bn\sum_{i=1}^{a}(\bar{x_{i.}}-\bar{x_{..}})^2=\frac{1}{bn}\sum_{i=1}^{a}T_{i.}^2-C$

$SS_B=an\sum_{j=1}^{b}(\bar{x_{.j}}-\bar{x_{..}})^2=\frac{1}{an}\sum_{j=1}^{b}T_{.j}^{2}-C$

$SS_{AB}=n\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{x_{ij}}-\bar{x_{i.}}-\bar{x_{.j}}+\bar{x_{..}})^2=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\sum_{k=1}^{n}x_{ijk})^2-SS_A-SS_B-C$