信息学奥赛之《向量几何一文通》

Geometry

$\pi$ ： $\arccos(-1)$
余弦定理：对于任意三角形（三边长为 $a, b, c$ ），则有 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos_{\theta}$ ，其中 $\theta$ 为 $a, b$ 边的夹角。
正弦定理： $\frac{a}{\sin_{\alpha}}=\frac{b}{\sin_{\beta}}=\frac{c}{\sin_{\theta}}$

向量的加法： $\vec A+\vec B = \vec C$

向量的减法： $\vec A-\vec B=\vec C$ （按照加法的定义并通过平移旋转即可得到）
内积（点积）： $\vec A\cdot \vec B=|\vec A||\vec B|\cos_{\theta}$

几何意义：向量 $\vec A$ 在向量 $\vec B$ 上的投影与 $\vec B$ 的长度的乘积

Code：（证明略）
```
double dot (Point A, Point B) { return A.x * B.x + A.y * B.y }
```
外积（叉积）： $\vec A\times \vec B=|\vec A||\vec B|\sin_{\theta}$

几何意义：向量 $\vec A$ 与向量 $\vec B$ 组成的平行四边形的面积（ $\vec B$ 在 $\vec A$ 的逆时针方向为正）

Code：（证明略）
```
double cross(Point A, Point B) { return A.x * B.y - B.x * A.y }
```
向量取模（向量的长度）

向量的长度为 $\sqrt{\mathrm{dot_{\vec a,\vec a}}}$ ，即 $\sqrt{x^2+y^2}$

注意：前面包括后面的所有向量都默认起点为平面直角坐标系原点

Code：
```
double Length(Point A) { return sqrt(dot(a, a)); }
```
计算向量夹角

已知向量的点积为 $|\vec A||\vec B|\cos_{\theta}$ ，现在要求 $\theta$ ，就是 $KaTeX parse error: Undefined control sequence: \acos at position 1: \̲a̲c̲o̲s̲_\frac{\vec A \…$

Code：
```
double Angle(Point A, Point B) { return acos(dot(A, B)) /  Length(A) / Length(B)}
```
向量 $\vec A$ 顺时针旋转 $\theta$ 角度

$\begin{bmatrix} \cos_{\theta} &-\sin_{\theta}\\ \sin_{\theta} &\cos_{\theta} \end{bmatrix}$

其中 $(x, y)$ 表示向量 $\vec A$ ，证明略。

Code：
```
Point Rotate(Point A, int Theta)
{
    return Point(A.x * cos(Theta) + A.y * sin(Theta), -A.x * sin(Theta) + A.y * cos(Theta))
}
```
直线点向式表示方式： $P+t\vec V$
判断点在直线上： $\vec A \times \vec B=0$ ， $\vec B$ 是表示该直线的向量， $\vec A$ 是该点与 $\vec B$ 的起点所组成的向量
判断 $2$ 条直线的位置关系，交点的位置（如果有）

cross(v, w) = 0，则两直线平行或重合。

两条直线： $P+t\vec V$ ， $Q+t\vec W$

$\vec V '$ 为 $\vec V$ 的平移，红线为两个三角形的高，此时必有 $2$ 个三角形相似

即， $2$ 个紫色三角形是相似的，因为 $\vec V'$ 是 $\vec V$ 的平移，所以内错角相等，即 $KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ang at position 1: \̲a̲n̲g̲ ̲FMJ=\ang HLM$ ，且都是直角三角形，所以相似。那么， $\frac{FJ}{MH}=\frac{FK}{LH}$ ，因为 $LH=|\vec V|$ ，所以 $\frac{FJ}{MH}=\frac{FK}{|\vec V|}$ ，而 $K$ 的坐标为 $P+\vec V \frac{FK}{|\vec V|}$ 。所以只需要求出 $\frac{FJ}{MH}$ 即可，而 $\frac{FJ}{MH}$ 恰好等于 $\frac{\vec W\times \vec u}{\vec V\times \vec W}$ 。

故， $K$ 点的坐标为 $P+\vec V \frac{\vec W\times \vec u}{\vec V\times \vec W}$
```
Point Line_Intersection(Point P, Vector V, Point Q, Vector W)
{
    Vector u = P - Q;
    return P + V * cross(W, u) / cross(V, W);
}
```
点到直线的距离

设向量 $\vec V$ 为 $B - A$ ， $\vec W$ 为 $P - A$ 。

则有， $\frac{\vec V\times \vec W}{\mathrm{Length_{\vec V}}}$ 为点 $P$ 到 $A B$ 的距离。
点到线段的距离

与 $14$ 略有不同，边界情况：如果线段为 $1$ 个点，则就是 $P$ 与线段端点所组成的向量的模长。

如果 $\vec{V_1}\cdot \vec{V_2}<0$ ，则为 $|\vec {V_2}|$ 。解释： $\vec V_1 \cdot \vec V_2$ 的符号正负取决于 $\cos_\theta$ ，当 $\theta>90\degree$ 时， $\cos_\theta<0$ ，恰好是到线段左端点的距离为点 $P$ 到线段的距离。

如果 $\vec V_3\cdot \vec V_1>0$ ，则为 $|\vec V_3|$ ，证明类似。

反之，则为点到直线的距离。
点在直线上的投影

用点积来求， $A+\vec V (\mathrm{\frac{dot_{\vec V,\vec {p-a}}}{dot_{\vec V,\vec V}}})$

与上面类似
点 $P$ 是否在线段 $A B$ 上

首先， $\mathrm{cross_{P-A,P-B}}=0$ ，这样保证了 $P, A, B$ 三点共线。

其次， $\mathrm{dot_{P-A,P-B}}\le0$ ，即 $\cos_{\theta}\le0$ ，当 $P$ 在线段上， $2$ 个向量相向， $\theta$ 为 $180\degree$ ， $\cos$ 为负。
判断 $2$ 条线段是否相交

即判断 $A_2,B_2$ 是否在 $A_1B_1$ 的 $2$ 侧，且 $A_1,B_1$ 在 $A_2,B_2$ 的 $2$ 侧。

用叉积做即可。