【数据结构】二叉树（二）——顺序结构

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前言
本篇博客讲解数组实现二叉树的顺序结构

文章目录

  • 一、二叉树的顺序结构及实现
    • 1.1 二叉树的顺序结构
    • 1.2 堆的概念
    • 1.3 堆的实现
      • 1.3.1 初始化堆
      • 1.3.2 向堆中插入元素
      • 1.3.3 从堆顶删除
      • 1.3.4 其他操作
      • 1.3.5 完整代码
        • Heap.h
        • Heap.c
    • 1.4 堆的应用
      • 1.4.1 堆排序
      • 1.4.2 TOP-K问题

一、二叉树的顺序结构及实现

1.1 二叉树的顺序结构

一般来说，顺序结构（数组）通常会用来实现完全二叉树，顺序结构用来实现不完全二叉树不是好的想法，因为会浪费许多空间。
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1.2 堆的概念

堆（Heap）是一种特殊的树形数据结构，堆常常被用于优先队列的实现，因为它支持快速查找和删除具有最高或最低优先级的元素。堆分为最大堆和最小堆，这两者都是二叉堆的一种形式。同时堆是完全二叉树。

最大堆和最小堆：

  1. 最大堆（Max Heap）： 在最大堆中，父节点的值大于或等于其每个子节点的值。这意味着树的根节点包含最大的值。

  2. 最小堆（Min Heap）： 在最小堆中，父节点的值小于或等于其每个子节点的值。这样，树的根节点包含最小的值。

堆一般是一个完全二叉树，但并不要求是满二叉树。
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1.3 堆的实现

// 堆的数据类型
typedef int HPDataType;

// 堆的结构体
typedef struct Heap {
    HPDataType* a;      // 数组，用于存储堆的元素
    int size;           // 当前堆中的元素个数
    int capacity;       // 堆的容量，即数组的大小
} HP;

1.3.1 初始化堆

void HeapInit(HP* php) {
	assert(php);

	php->a = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
}

1.3.2 向堆中插入元素

这里以最小堆为例
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代码实现：

//元素交换位置
void Swap(HPDataType* p1 , HPDataType* p2) {
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child) {
	int parent = (child - 1) / 2;//parent为父亲节点
	
	while (child > 0) {

		//a[child] < a[parent]小堆排序；a[child] > a[parent]大堆排序
		if (a[child] < a[parent]) {
			Swap(&a[child],&a[parent]);
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else {
			break;
		}
	}
}

// 入堆操作
void HeapPush(HP* php, HPDataType x) {
	assert(php);
	
	// 如果堆满了，扩容
	if (php->size == php->capacity) {
		int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a , newCapacity * sizeof(HPDataType));
		
		if (tmp == NULL) {
			perror("realloc fail");
			exit(-1);
		}

		php->a = tmp;
		php->capacity = newCapacity;

	}
	// 将新元素放入堆尾
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;
	
	// 进行上调操作，保持堆的性质
	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

1.3.3 从堆顶删除

删除堆顶元素的思路通常涉及将堆顶元素与堆中最后一个元素交换，然后删除最后一个元素，最后执行一次向下调整（AdjustDown）操作，以维护堆的性质。
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代码实现：

//向下调整
void AdjustDown(int* a, int size, int parent) {
	int child = parent * 2 + 1;
	
	while (child < size) {

		//a[child + 1] < a[parent]小堆排序；a[child + 1] > a[parent]大堆排序
		if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child]) {
			++child;
		}

		//a[child] < a[parent]小堆排序；a[child] > a[parent]大堆排序
		if (a[child] < a[parent]) {
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else {
			break;
		}
	}
}

//删除堆顶元素
void HeapPop(HP* php) {
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

    //堆顶与最后一个元素交换
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

1.3.4 其他操作

//销毁堆
void HeapDestroy(HP* php) {
	assert(php);

	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

//获取堆顶元素
HPDataType HeapTop(HP* php) {
	assert(php);
	assert(php->a);

	return php->a[0];
}

//元素个数
size_t HeapSize(HP* php) {
	assert(php);

	return php->size;
}

//判断堆是否为空
bool HeapEmpty(HP* php) {
	assert(php);

	return php->size == 0;
}

1.3.5 完整代码

Heap.h
#pragma once
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
#include <stdbool.h>

// 堆的数据类型
typedef int HPDataType;

// 堆的结构体
typedef struct Heap {
    HPDataType* a;      // 数组，用于存储堆的元素
    int size;           // 当前堆中的元素个数
    int capacity;       // 堆的容量，即数组的大小
} HP;

// 初始化堆
void HeapInit(HP* php);

// 销毁堆
void HeapDestroy(HP* php);

// 向堆中插入元素
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);

// 从堆中删除元素
void HeapPop(HP* php);

// 获取堆顶元素
HPDataType HeapTop(HP* php);

// 获取堆的大小
size_t HeapSize(HP* php);

// 判断堆是否为空
bool HeapEmpty(HP* php);
Heap.c
#include "Heap.h"

void HeapInit(HP* php) {
	assert(php);

	php->a = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
}

void HeapDestroy(HP* php) {
	assert(php);

	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

void Swap(HPDataType* p1 , HPDataType* p2) {
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

void AdjustUp(HPDataType* a, int child) {
	int parent = (child - 1) / 2;
	
	while (child > 0) {

		//a[child] < a[parent]小堆排序；a[child] > a[parent]大堆排序
		if (a[child] < a[parent]) {
			Swap(&a[child],&a[parent]);
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else {
			break;
		}
	}
}

void HeapPush(HP* php, HPDataType x) {
	assert(php);
	
	if (php->size == php->capacity) {
		int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a , newCapacity * sizeof(HPDataType));
		
		if (tmp == NULL) {
			perror("realloc fail");
			exit(-1);
		}

		php->a = tmp;
		php->capacity = newCapacity;

	}
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

void AdjustDown(int* a, int size, int parent) {
	int child = parent * 2 + 1;
	
	while (child < size) {

		//a[child + 1] < a[parent]小堆排序；a[child + 1] > a[parent]大堆排序
		if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child]) {
			++child;
		}

		//a[child] < a[parent]小堆排序；a[child] > a[parent]大堆排序
		if (a[child] < a[parent]) {
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else {
			break;
		}
	}
}

void HeapPop(HP* php) {
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

HPDataType HeapTop(HP* php) {
	assert(php);
	assert(php->a);

	return php->a[0];
}

size_t HeapSize(HP* php) {
	assert(php);

	return php->size;
}

bool HeapEmpty(HP* php) {
	assert(php);

	return php->size == 0;
}

1.4 堆的应用

1.4.1 堆排序

根据堆的特性，可以用堆来进行排序，过程如下：

  1. 建堆： 将待排序的数组构建成一个最大堆或最小堆。

  2. 排序： 利用删除堆顶元素的思想，交换堆顶元素（根节点）与数组末尾元素，然后重新调整堆，使其保持最大堆或最小堆的性质。这个步骤只需要执行 n - 1 次，其中 n 是数组的长度。每次执行后，最大（或最小）元素会被移到数组的末尾。重复步骤 2 直到整个数组有序。

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代码实现： 基于堆的实现

#include "Heap.h"

//降序
void HeapSort(int* a, int n) {

	//建小堆,向上调整，时间复杂度O(N*logN)
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		AdjustUp(a, i);
	}

	向下调整，时间复杂度O(N)
	//for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i) {
	//	AdjustDown(a, n, i);
	//}

	int end = n - 1;
	while (end > 0) {
		Swap(&a[0], &a[end]);
		//向下调整
		AdjustDown(a, end, 0);
		--end;
	}
}

int main() {
	int a[] = { 1,5,4,3,6,9,10 };
	int n = sizeof(a)/sizeof(a[0]);
	HeapSort(a, n);
	int i = 0;
	while (i < n) {
		printf("%d ",a[i]);
		i++;
	}
	return 0;
}

输出结果：
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在建立堆时，有向上调整和向下调整两种方式：

	//向上调整，时间复杂度O(N*logN)
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		AdjustUp(a, i);
	}

	//向下调整，时间复杂度O(N)
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i) {
		AdjustDown(a, n, i);
	}

在这里插入图片描述
向上调整的时间复杂度为 T ( h ) = 1 × 2 1 + 2 × 2 2 + 3 × 2 3 + . . . . . . + ( h − 1 ) × 2 ( h − 1 ) T(h)=1×2^1+2×2^2+3×2^3+......+(h-1)×2^{(h-1)} T(h)=1×21+2×22+3×23+......+(h−1)×2(h−1),通过错位相减后得到 T ( h ) = − ( 2 h − 1 ) + 2 h ( h − 1 ) + 1 T(h)=-(2^h-1)+2^{h(h-1)}+1 T(h)=−(2h−1)+2h(h−1)+1。
因为树的高度h与节点数N之间的关系是 2 h − 1 = N 2^h-1=N 2h−1=N和
h = l o g 2 ( N + 1 ) h=log_2(N+1) h=log2​(N+1)。用N代替h得到，时间复杂度 T ( N ) = − N + ( N + 1 ) ( l o g 2 ( N + 1 ) − 1 ) + 1 , 近似于 O ( N ) = N ∗ l o g 2 N T(N)=-N+(N+1)(log_2(N+1)-1)+1,近似于O(N)=N*log_2N T(N)=−N+(N+1)(log2​(N+1)−1)+1,近似于O(N)=N∗log2​N
在这里插入图片描述
向下调整的时间复杂度为 T ( h ) = ( h − 1 ) × 2 1 + ( h − 2 ) × 2 2 + ( h − 3 ) × 2 3 + . . . . . . + 1 × 2 ( h − 1 ) T(h)=(h-1)×2^1+(h-2)×2^2+(h-3)×2^3+......+1×2^{(h-1)} T(h)=(h−1)×21+(h−2)×22+(h−3)×23+......+1×2(h−1),通过错位相减后得到 T ( h ) = 2 h − 1 − h T(h)=2^h-1-h T(h)=2h−1−h。
同样，用N代替h得到，时间复杂度 T ( N ) = N − l o g 2 ( N + 1 ) , 近似于 O ( N ) = N T(N)=N-log_2(N+1),近似于O(N)=N T(N)=N−log2​(N+1),近似于O(N)=N

因此，得出结论，在使用堆进行排序时，利用向下调整法来构建堆更加高效。

1.4.2 TOP-K问题

Top-k 问题是在一组数据中找出前 k 个最大或最小的元素的问题。这个问题在实际应用中经常出现，例如在搜索引擎中找出前 k 个相关度最高的页面，或者在数据分析中找出前 k 个热门商品。

最直观的方法是对整个数据集进行排序，然后取前 k 个或后 k 个元素。这种方法的时间复杂度通常为 O(n log n)，其中 n 是数据集的大小。这在 k 远小于 n 的情况下是不划算的。

我们可以通过维护一个大小为 k 的最小堆，可以在 O(n log k) 的时间内找到前 k 个最大元素。

方法如下：

  1. 创建一个大小为 k 的堆： 初始化一个大小为 k 的堆，如果是求前 k 个最小元素，则使用最大堆（大顶堆），如果是求前 k 个最大元素，则使用最小堆（小顶堆）。

  2. 将前 k 个元素插入堆中： 遍历数组的前 k 个元素，依次插入堆中。

  3. 遍历数组的剩余元素： 从第 k+1 个元素开始遍历数组（对于大量数据显然是不合适的，所以可以从文件中挨个读取），对于每个元素，如果它比堆顶元素大（或小，取决于是求最大还是最小元素），则替换堆顶元素，并重新调整堆，以保持堆的性质。

  4. 输出结果： 遍历堆中的元素，即为前 k 个最大或最小元素。

要在大量数据中找出前k个最大的数字，如果全部放到数组中，所需要的空间很大，因此我们可以生成一个包含大量随机数据的文件。
代码如下：

//头文件中需要包含的头文件
//#include <time.h>

// 随机生成大量数据
void CreateDate() {
    int n = 100000;
    srand(time(0));
    const char* file = "date.txt";
    FILE* fin = fopen(file, "w");
    if (fin == NULL) {
        perror("fopen error");
        return;
    }

    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
        //保证生成的随机数小于100000
        int x = (rand() + i) % 100000;
        fprintf(fin, "%d\n", x);
    }
    fclose(fin);
}

// 从文件中读取数据并输出前k个最大值
void PrintfTopK(const char* file, int k) {
    FILE* fout = fopen(file, "r");
    if (fout == NULL) {
        perror("fopen error");
        return;
    }

    int* heap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
    if (heap == NULL) {
        perror("malloc error");
        return;
    }

    // 初始化堆
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        fscanf(fout, "%d", &heap[i]);
        AdjustUp(heap, i);
    }

    int x = 0;
    // 逐个读取文件中的数据
    while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF) {
        // 如果读取的数比堆顶元素大，则更新堆
        if (x > heap[0]) {
            heap[0] = x;
            AdjustDown(heap, k, 0);
        }
    }

    // 输出前k个最大值
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        printf("%d ", heap[i]);
    }

    free(heap);
    fclose(fout);
}

// 主函数
int main() {
    // 生成随机数据文件
    CreateDate();

    // 输出文件中的前5个最大值
    PrintfTopK("date.txt", 5);

    return 0;
}

我们要查看所有的数据，依此判断是否成功找出前k个最大数是不容易的，所以我们在生成的文件中，将5个随机生成的数改成比100000大的数，当我们输出时，只需要检查最大的5个数是不是这几个，即可知道排序是否正确。
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输出结果：
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