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  • • 问题描述
    • 回溯法
    • 时间复杂性
    • `Python`实现

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系列专栏：回溯法

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问题描述

• 下图是由$14$个“$+$”和$14$个“$-$”组成的符号三角形，$2$个同号下面都是”$+$“，$2$个异号下面都是“$-$”

• 在一般情况下，符号三角形的第一行有$n$个符号，符号三角形问题要求对于给定的$n$，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“$+$”和“$-$”的个数相同

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回溯法

• 对于符号三角形问题，用$n$元组$x[1:n]$表示符号三角形的第一行的$n$个符号，由于$x[i]$是二值的，所以在用回溯法解符号三角形问题时，可以用一棵完全二叉树来表示其解空间
• 在符号三角形的第一行的前$i$个符号$x[1:i]$确定后，就确定了一个由$i(i+1)/2$个符号组成的符号三角形，下一步确定$x[i+1]$的值后，只要在前面已确定的符号三角形的右边加一条边，就可以扩展为$x[1:i+1]$相应的符号三角形
• 最终由$x[1:n]$所确定的符号三角形中包含的“$+$”个数与“$-$”个数同为$n(n+1)/4$，因此在回溯搜索过程中，可用当前符号三角形所包含的“$+$”个数与”$-$“个数均不超过$n(n+1)/4$作为可行性约束，用于剪去不满足约束的子树
• 当$i=n$时，算法搜索至叶节点，得到一个新的“$+$”个数与“$-$”个数相同的符号三角形，当前已找到符号三角形数$sum$增$1$
• 当$i<n$时，当前扩展结点$Z$是解空间中的内部结点，对当前扩展结点$Z$的每个儿子结点，计算其相应的符号三角形中“$+$”个数与“$-$”个数，并以深度优先的方式递归地对可行子树进行搜索，或剪去不可行子树
• 对于给定的$n$，当$n(n+1)/2$为奇数时，显然不存在所包含的“$+$”个数与“$-$”个数相同的符号三角形，此时可以通过简单的判断加以处理

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时间复杂性

• 更新符号三角形矩阵需要$O(n)$时间，在最坏情况下，有$O(2^n)$个结点需要更新符号三角形矩阵
• 所以解符号三角形问题的回溯算法所需的计算时间为$O(n{2}^n)$

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Python实现

def symbol_triangle(n):
    if (n * (n + 1) // 2) % 2:
        return 0

    half = n * (n + 1) // 4

    count = 0  # 记录符合条件的符号三角形数量

    # 初始化符号三角形矩阵
    path = [[''] * n for _ in range(n)]

    def backtrack(row, col, path, plus_count, minus_count):
        nonlocal count

        # 边界条件: 当列数等于 n 时, 表示已经生成了符号三角形的一种排列
        if col == n:
            if plus_count == minus_count:
                count += 1

                print(path)

            return

        # 尝试当前位置为 +
        path[row][col] = '+'
        plus_count += 1

        # 更新符号三角形矩阵
        cur_col = col
        for i in range(1, cur_col + 1):
            if path[i - 1][cur_col - 1] == path[i - 1][cur_col]:
                path[i][cur_col - 1] = '+'
                plus_count += 1
            else:
                path[i][cur_col - 1] = '-'
                minus_count += 1

            cur_col -= 1

        # 检查是否满足条件, 继续生成下一行的符号
        if plus_count <= half and minus_count <= half:
            backtrack(row, col + 1, path, plus_count, minus_count)

        # 恢复回溯之前状态
        cur_col = col
        for i in range(cur_col + 1):
            if path[i][cur_col] == '+':
                path[i][cur_col] = ''
                plus_count -= 1
            else:
                path[i][cur_col] = ''
                minus_count -= 1

            cur_col -= 1

        # 尝试当前位置为 -
        path[row][col] = '-'
        minus_count += 1

        # 更新符号三角形矩阵
        cur_col = col
        for i in range(1, cur_col + 1):
            if path[i - 1][cur_col - 1] == path[i - 1][cur_col]:
                path[i][cur_col - 1] = '+'
                plus_count += 1
            else:
                path[i][cur_col - 1] = '-'
                minus_count += 1

            cur_col -= 1

        # 检查是否满足条件, 继续生成下一行的符号
        if plus_count <= half and minus_count <= half:
            backtrack(row, col + 1, path, plus_count, minus_count)

    backtrack(0, 0, path, 0, 0)

    return count


n = 4

print('满足条件的符号三角形如下:')

count = symbol_triangle(n)

print(f'符号三角形数量: {count}')

满足条件的符号三角形如下:
[['+', '+', '-', '+'], ['+', '-', '-', ''], ['-', '+', '', ''], ['-', '', '', '']]
[['+', '+', '-', '-'], ['+', '-', '+', ''], ['-', '-', '', ''], ['+', '', '', '']]
[['+', '-', '+', '+'], ['-', '-', '+', ''], ['+', '-', '', ''], ['-', '', '', '']]
[['+', '-', '+', '-'], ['-', '-', '-', ''], ['+', '+', '', ''], ['+', '', '', '']]
[['-', '+', '-', '+'], ['-', '-', '-', ''], ['+', '+', '', ''], ['+', '', '', '']]
[['-', '-', '+', '+'], ['+', '-', '+', ''], ['-', '-', '', ''], ['+', '', '', '']]
符号三角形数量: 6

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