第八部分函数

定义 8.1 设 F 为二元关系 , 若 ∀ x ∈ dom F 都存在唯一的 y ∈ ran F 使 xFy 成立 , 则称 F 为函数 对于函数 F , 如果有 xFy , 则记作 y = F ( x ), 并称 y 为 F 在 x 的值 .

例

F 1 ={< x 1 , y 1 >,< x 2 , y 2 >,< x 3 , y 2 >} F 2 ={< x 1 , y 1 >,< x 1 , y 2 >}

F 1 是函数 , F 2 不是函数

即只能一对一或多对一

定义 8.2 设 F , G 为函数 , 则

F = G ⇔ F ⊆ G ∧ G ⊆ F

如果两个函数 F 和 G 相等 , 一定满足下面两个条件：

(1) dom F =dom G

(2) ∀ x ∈ dom F =dom G 都有 F ( x )= G ( x )

函数F(x)=(x2−1)/(x+1), G(x)=x−1不相等, 因为 domF⊂domG

定义 8.3 设 A , B 为集合 , 如果

f 为函数 , dom f = A , ran f ⊆ B，则称 f 为从 A 到 B 的函数 , 记作 f ： A → B

例

f ： N→N, f ( x )=2 x 是从 N 到 N 的函数

g ： N→N, g ( x )=2 也是从 N 到 N 的函数

即定义域都在A上，都存在，值域都在B上，但是不用都存在

定义 8.4 所有从 A 到 B 的函数的集合记作 $B^{^{A}}$ , 符号化表示为 $B^{^{A}}$ = { f | f ： A → B }

| A |= m , | B |= n , 且 m , n >0, | B A |= n m

A = ∅ , 则 B A = B ∅ ={ ∅ }

A ≠ ∅ 且 B = ∅ , 则 B A = ∅ A = ∅

例 1 设 A ={1,2,3}, B ={ a , b }, 求 $B^{^{A}}$ .

解 $B^{^{A}}$ ={ f 0 , f 1 , … , f 7 }, 其中

f 0 = {<1, a >,<2, a >,<3, a >}

f 1 = {<1, a >,<2, a >,<3, b >}

f 2 = {<1, a >,<2, b >,<3, a >}

f 3 = {<1, a >,<2, b >,<3, b >}

f 4 = {<1, b >,<2, a >,<3, a >}

f 5 = {<1, b >,<2, a >,<3, b >}

f 6 = {<1, b >,<2, b >,<3, a >}

f 7 = {<1, b >,<2, b >,<3, b >}

定义 8.5 设函数 f ： A → B , A 1 ⊆ A , B 1 ⊆ B

(1) A 1 在 f 下的像 f ( A 1 ) = { f ( x ) | x ∈ A 1 }, 函数的像 f ( A )

(2) B 1 在 f 下的完全原像 f − 1 ( B 1 )={ x | x ∈ A ∧ f ( x ) ∈ B 1 }

定义 8.6 设 f ： A → B ,

(1) 若 ran f = B , 则称 f : A → B 是满射的

(2) 若 ∀ y ∈ ran f 都存在唯一的 x ∈ A 使得 f ( x )= y , 则称 f : A → B 是单射的

(3) 若 f : A → B 既是满射又是单射的 , 则称 f : A → B 是双射的

满射：值域都在B上，并且值域都存在

单射：一一对应

定义 8.7

(1) 设 f : A → B , 如果存在 c ∈ B 使得对所有的 x ∈ A 都有 f ( x )= c , 则称 f : A → B 是 常函数 .

(2) 称 A 上的恒等关系 I A 为 A 上的 恒等函数 , 对所有的 x ∈ A 都有 I A ( x )= x .

(3) 设 < A , ≼ >, < B , ≼ > 为偏序集， f : A → B ，如果对任意的 x 1 , x 2 ∈ A , x 1 ≺ x 2 , 就有 f ( x 1 ) ≼ f ( x 2 ), 则称 f 为 单调递增 的；

如 果对任意的 x 1 , x 2 ∈ A , x 1 ≺ x 2 , 就有 f ( x 1 ) ≺ f ( x 2 ), 则称 f 为严 格单调递增 的 . 类似的也可以定义单调递减和严格单调递 减的函数

定理8.1 设F, G是函数, 则F°G也是函数, 且满足

(1) dom( F ° G )={ x | x ∈ dom F ∧ F ( x ) ∈ dom G }

(2) ∀ x ∈ dom( F ° G ) 有 F ° G ( x )= G ( F ( x ))

定理8.2 设f:A→B, g:B→C

(1) 如果 f : A → B , g : B → C 是满射的 , 则 f ° g : A → C 也是满射的

(2) 如果 f : A → B , g : B → C 是单射的 , 则 f ° g : A → C 也是单射的

(3) 如果 f : A → B , g : B → C 是双射的 , 则 f ° g : A → C 也是双射的