cuda加速求解龙格库塔四阶五步积分

一般代码使用cuda加速的方法：

使用PyTorch进行加速：
- 首先，你需要将你的ODE系统定义为PyTorch模型，这样可以利用PyTorch的自动微分功能和GPU加速。
- 然后，你需要将数据和参数转换为PyTorch张量，并将它们移动到GPU上。
- 最后，你可以使用PyTorch的优化器来优化参数，同时在GPU上执行计算。
使用Numba进行加速：
- Numba可以将Python代码即时编译成CUDA代码，从而在GPU上执行。你可以使用@jit装饰器来标记需要加速的函数，并指定target='cuda'来将其编译为CUDA代码。
- 在函数内部，你需要将数据和参数转换为Numba支持的CUDA数组，并使用CUDA加速的函数来执行计算。

使用numba加速

numba应用案例

关于二阶转一阶

使用pytorch加速

pytorch应用案例

使用numba加速

import numba as nb

@nb.njit
def rk45(func, t0, y0, t_end, h):
    t = t0
    y = y0
    while t ' t_end:
        k1 = h * func(t, y)
        k2 = h * func(t + 0.25 * h, y + 0.25 * k1)
        k3 = h * func(t + 3/8 * h, y + 3/32 * k1 + 9/32 * k2)
        k4 = h * func(t + 12/13 * h, y + 1932/2197 * k1 - 7200/2197 * k2 + 7296/2197 * k3)
        k5 = h * func(t + h, y + 439/216 * k1 - 8 * k2 + 3680/513 * k3 - 845/4104 * k4)
        k6 = h * func(t + 0.5 * h, y - 8/27 * k1 + 2 * k2 - 3544/2565 * k3 + 1859/4104 * k4 - 11/40 * k5)
        
        y_next = y + 25/216 * k1 + 1408/2565 * k3 + 2197/4104 * k4 - 0.2 * k5
        y_error = 1/360 * k1 - 128/4275 * k3 - 2197/75240 * k4 + 1/50 * k5 + 2/55 * k6
        
        t += h
        y = y_next
    return t, y

numba应用案例

我们有一个简单的二阶线性常微分方程： $\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} + 2y = \sin(t)$ 要求解常微分方程组（ODEs）。

我们可以将这个二阶微分方程转化为一个一阶微分方程组，然后使用RK45方法来求解。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import numba as nb

@nb.njit
def func(t, y):
    dydt = np.zeros(2)
    dydt[0] = y[1]
    dydt[1] = -2*y[1] - 2*y[0] + np.sin(t)
    return dydt

@nb.njit
def rk45(func, t0, y0, t_end, h):
    # 省略 rk45 函数的实现，可以使用之前给出的实现

t0 = 0.0
t_end = 10.0
y0 = np.array([0.0, 0.0])
h = 0.1

t_values = []
y_values = []

t = t0
y = y0
while t < t_end:
    t_values.append(t)
    y_values.append(y[0])
    t, y = rk45(func, t, y, t_end, h)

plt.plot(t_values, y_values)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y')
plt.title('Solution of the ODE')
plt.show()

关于二阶转一阶

给定的二阶微分方程是：

[ $\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} + 2y = \sin(t)$ ]

首先，我们引入新变量 ( u ) 来代表 ( y ) 的一阶导数 ( \frac{dy}{dt} )，即：

[ $u = \frac{dy}{dt}$ ]

现在我们可以将原始的二阶微分方程重写为两个一阶微分方程：

第一个一阶微分方程是由新变量 ( u ) 的定义直接得到的：

[ $\frac{dy}{dt} = u$ ]

第二个一阶微分方程来自于原始方程对 ( y ) 的二阶导数的替换，我们将 ( $\frac{d^2y}{dt^2}$ ) 用 ( $\frac{du}{dt}$ ) 替换：

[ $\frac{du}{dt} = \sin(t) - 2u - 2y$ ]

现在numba我们有了一个一阶微分方程组：

[ $\frac{dy}{dt} = u$ ]
[ $\frac{du}{dt} = \sin(t) - 2u - 2y$ ]

这个方程组可以用来描述原始的二阶微分方程的动态。一阶微分方程组更容易用数值方法求解，因为大多数数值求解器都是为一阶方程设计的。在实际应用中，这个方程组可以用标准的数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）进行求解。

使用pytorch加速

import torch

def rk45(func, t0, y0, t_end, h):
    t = t0
    y = torch.tensor(y0, requires_grad=True, dtype=torch.float64)  # 将y0转换为PyTorch张量
    while t ' t_end:
        k1 = h * func(t, y)
        k2 = h * func(t + 0.25 * h, y + 0.25 * k1)
        k3 = h * func(t + 3/8 * h, y + 3/32 * k1 + 9/32 * k2)
        k4 = h * func(t + 12/13 * h, y + 1932/2197 * k1 - 7200/2197 * k2 + 7296/2197 * k3)
        k5 = h * func(t + h, y + 439/216 * k1 - 8 * k2 + 3680/513 * k3 - 845/4104 * k4)
        k6 = h * func(t + 0.5 * h, y - 8/27 * k1 + 2 * k2 - 3544/2565 * k3 + 1859/4104 * k4 - 11/40 * k5)
        
        y_next = y + 25/216 * k1 + 1408/2565 * k3 + 2197/4104 * k4 - 0.2 * k5
        y_error = 1/360 * k1 - 128/4275 * k3 - 2197/75240 * k4 + 1/50 * k5 + 2/55 * k6
        
        t += h
        y = y_next
    return t, y

pytorch应用案例

假设我们有一个简单的常微分方程组：

$dy1/dt = y2$
$dy2/dt = -y1$

我们可以使用rk45函数来求解这个常微分方程组的数值解。

import torch

# 定义常微分方程组的右端函数
def func(t, y):
    dy1_dt = y[1]
    dy2_dt = -y[0]
    return torch.tensor([dy1_dt, dy2_dt], dtype=torch.float64)

# 使用rk45函数求解常微分方程组
def rk45(func, t0, y0, t_end, h):
    # 省略 rk45 函数的实现，可以使用之前给出的实现

# 初始条件
t0 = 0.0
y0 = [1.0, 0.0]
t_end = 10.0
h = 0.1

# 求解常微分方程组
t, y = rk45(func, t0, y0, t_end, h)

print("t:", t)
print("y:", y)

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