【数据结构】递归与分治

一.递归

1.递归的概念：

子程序（或函数）. 接调用自己或通过一系列调用语句间接调用自己，成为递归。

递归是一种描述问题和解决问题的基本方法。

重复地把问题转化为与原问题相似的新问题，直到问题解决为止。

2.递归的要素：

1）递归边界条件

确定递归到何处终止，也称为递归出口

2）递归模式：

大问题是如何分解为小问题的，也称为递归体

3.递归的特点：

递归：结构清晰，程序容易编写，但需要更多的存储空间和时间。

4.递归与栈：

递归过程都是通过栈来实现的，任何递归算法都可以通过栈来改写为非递归算法。

递归调用，回归求值。

5.递归例子：

1）汉诺塔问题

算法思想：

当n=1时，只需将改圆盘从X移动到Z即可；

当 $n \geqslant 1$ 时，将压在n号盘上的n-1个盘子移动到Y，然后把n号盘从X移动到Z上，最后再将Y上的n-1个盘子移动到Z上。

void move(char a,char b){
    cout<<a<<"->"<<b<<endl;
}
void hanoi(int n,char x,char y,char z){
    if(n==1){
        move('x','z');
    }
    else{
        hanoi(n-1,x,z,y);
        move(x,z);
        hanoi(n-1,y,x,z);
    }
}

2）求阶乘

int fact(int n){
    if(n==0){
        return 1;
    }
    else{
        return n*fact(n-1);
    }
}

二.分治

1.基本思想：

将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破。

1）将要求解的较大规模问题分解为k个更小规模的子问题，对这k个子问题分别求解。

2）如果子问题的规模仍然不够小，则对每个子问题再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。

3）将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。

2.分治法的适用条件：

1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易的解决

2）该问题可以划分为若干个规模较小的问题

3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解

4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，子问题之间不包含公共的子问题，如果子问题之间有重复的部分，使用动态规划更好

5）使用分治法最好使子问题的规模大致相同，将一个问题分成大小相等的k个子问题，思想源于平衡子问题。

4.分治法的复杂性分析：

解递归式：

代换法
主方法
迭代法递归树方法

主方法：

$T(n)=aT(n/b)+f(n)$

其中 $a\geqslant 1$ $b> 1$ ，a，b均为常数

如果对于某常数 $\epsilon> 0$ ，有 $f(n)=O(n^{log_b^{a-\epsilon}})$ ,则 $T(n)=\Theta(n^{log_b^a})$

若 $f(n)=\Theta(n^{log_b^a})$ ，则 $T(n)=\Theta(n^{log_b^{a}}lgn)$

如果对于某常数 $\epsilon> 0$ ，有 $f(n)=\Omega(n^{log_b^{a+\epsilon}})$ ,且对于常数 $c< 1$ ，与足够大的n，有 $af(n/b)\leq cf(n)$ ，则 $T(n)=\Theta(f(n))$