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P1883 函数

思路

举例

题目中的 $F(x)$ 看起来很复杂，但由于每个 $f(x)$ 的二次项系数 $a$ 都不是负数，故 $F(x)$ 是一个单谷函数。直接说出结论可能有些令人难以接受，不妨举出两个例子。

第一个例子是 $a$ 大于0的情况，即 $f_1(x)=x^2,f_2(x)=x^2-2x+10$ ，图像如下：

显然，当 $x\ge 5$ 时，$f_1(x)\ge f_2(x)$ ；当 $0\le x<5$ 时，$f_1(x)<f_2(x)$ 。所以在区间 $[0,5)$ 上，$F(x)$ 取 $f_2(x)$ 的函数值；所以在区间 $[5,1000]$ 上，$F(x)$ 取 $f_1(x)$ 的函数值。显然 $F(x)$ 的图像是一个单谷函数，有最小值。

第二个例子是 $a$ 等于0的情况，即 $f_1(x)=x^2,f_2(x)=x+2$ ，图像如下：

显然，当 $x\ge 2$ 时，$f_1(x)\ge f_2(x)$ ；当 $0\le x<2$ 时，$f_1(x)<f_2(x)$ 。所以在区间 $[0,2)$ 上，$F(x)$ 取 $f_2(x)$ 的函数值；所以在区间 $[2,1000]$ 上，$F(x)$ 取 $f_1(x)$ 的函数值。显然 $F(x)$ 的图像是一个单谷函数，有最小值。

通过以上两个例子，可推得只要 $a\ge 0$ 那么无论增加多少个二次函数(或者退化为一次函数)，最终形成的函数 $F(x)$ 势必是一个单谷函数，有最小值，故想到使用三分法求最小值。

三分法

对于初始的区间，左端点 $left$ 为0，右端点 $right$ 为1000，左三等分点 $midL$ 和右三等分点 $midR$ 在循环中更新。

如果 $F(midL)>F(midR)$ ，说明函数的最小值点在区间 $[midL,right]$ ，故更新 $left$ 到 $midL$ ；否则说明函数的最小值点在区间 $[left,midR]$ ，故更新 $right$ 到 $midR$ 。如果不理解三分的更新子区间，请参考算法——三分法。

当区间长度小于指定精度 $precision$ 时，退出循环，输出结果。详见代码。

使用inline

题解中使用了关键字 $inline$ ，只要一个函数被 $inline$ 修饰(这种函数被称为内联函数)，那么使用该函数的地方会粘贴函数体里面的代码，从而加快函数的调用，并且减少栈空间的浪费。求 $f_1(x),f_2(x),...,f_n(x)$ 的函数值被使用了很多次，故使用内联函数加快执行速度。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
using std::cin, std::cout;
const int N = 1e4 + 5;						// 数组长度
const double precision = 1e-9;				// 精度
/*
    n是二次函数的个数		a[]保存二次项系数
    b[]保存一次项系数		c[]保存常数项
*/
int n, a[N], b[N], c[N];
inline double func(double x, int num) {		// 求第num个二次函数在x处的取值
    return a[num] * x * x + b[num] * x + c[num];
}
double getFuncMax(double x) {				// 求F(x)在x处的取值
    double res = func(x, 0);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        double temp = func(x, i);
        res = res > temp ? res : temp;
    }
    return res;
}
void process() {							// 每个测试案例的解决方案
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];
    }
    double left = 0.0, right = 1000.0, midL, midR;
    while (right - left > precision) {
        midL = left + (right - left) / 3.0;
        midR = right - (right - left) / 3.0;
        if (getFuncMax(midL) > getFuncMax(midR)) {
            left = midL;
        } else {
            right = midR;
        }
    }
    printf("%.4lf\n", getFuncMax(left));	// left是F(x)的最小值点
}
int main() {
    int t;									// 测试案例的个数
    cin >> t;
    while (t-- > 0) {
        process();
    }
    return 0;
}

说明

本文的两个函数图像由 $GeoGebra$ 生成。