集合论：二元关系(1)

集合论这一章内容很多，重点是二元关系中关系矩阵，关系图和关系性质:自反、反自反、对称、反对称、传递以及关系闭包的运算，等价关系，偏序关系，哈斯图，真吓人！

1.笛卡儿积

由两个元素x和y按照一定顺序排列成的二元组称作一个有序对，记为<x,y>，就是说x和y是有顺序的，不能随意调换，所以要想两个有序对相等当且仅当对应位置的元素相等

设A，B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合称作A和B的笛卡儿积，记为AxB。并不需要知道为什么这样定义，只需要知道我们把A集合的元素取出来放在二元组的第一位，B集合的元素取出来放在第二位，所有这样二元组组成的集合就是A和B的笛卡儿积。

很显然，因为二元组是有序对，所以笛卡儿积德运算并不满足交换律和结合律，分配律是没问题的

2.二元关系

如果一个集合满足以下条件之一：

（1）集合非空，所有元素都是有序对

（2）集合是空集

则称该集合为一个二元关系，简称关系，对于二元关系R，如果<x,y>属于R，则记为xRy

设A，B为集合，AxB的任何子集所定义的二元关系称作从A到B的二元关系。二元关系就是两个元素之间的关系。

什么意思呢？其实很好理解，就是A和B所组成的任何有序对都可以看作是A中元素和B中元素产生的联系，我们可以找到一个关系来使这两个元素产生联系。二元关系其实就是一个集合，这个集合里面包含了所有满足这个关系的有序对，。比如我们说A上的恒等关系，就是找出满足两个元素相等的有序对，这个有序对可以理解成两个元素之间的前后关系，如果顺序变了也就不满足这个关系了，所以才叫有序对。所以我认为应该先有了二元关系的概念，才有了有序对，之后才出现了笛卡儿积来定义有序对组成的集合。其实AxB的所有子集都存在联系两个元素之间的关系，只是能不能找到的问题，二元关系就是表示两个东西之间有联系，并且说明是怎么联系的，联系的方式是什么

另外，两个集合的笛卡尔积是遍历了所有的“对”，之所以是子集是因为上述“联系的描述”可能对某些对有效，对某些对无效。也就是我们平时说的，这一对有关系，这一对没关系。

理解了这个之后，我们再看什么全域关系，恒等关系，小于等于关系，整除关系，包含关系就很简单了。

2.1全域关系恒等关系小于等于关系整除关系

恒等关系 : IA = { < x , x > ∣ x ∈ A }

全域关系 : E A = A × A = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ A } , 任何两个元素之间都有关系 ;

小于等于关系: LA={<x,y>∣x∈A∧y∈A∧x≤y}
整除关系 : DA={<x,y>∣x∈A∧y∈A∧x∣y}

我们还可以定于大于关系，小于关系，大于等于关系等等

2.2描述关系的三种方法

有集合表达式，关系矩阵和关系图，集合表达式就是上面的

关系矩阵

比如：

A = { a , b , c }

R 1 = { < a , a > , < a , b > , < b , a > , < b , c > }

则R1的关系矩阵为：

关系图

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关系图也是来说明两个元素之间是否存在某个关系

3.关系运算

(1)逆运算

从关系图来看，就是把边的方向反过来即可

从关系矩阵来看，就是把矩阵进行转置操作

(2)复合运算

就是把B中同时和A、C产生关系的元素找出来，相当于给A和C中的元素搭了个桥

(3)限制和像

R在A上的限制就是说在R中找第一个元素属于A的有序对，A在R下的像就是R在A上的限制的值域。

(4)关系的n次幂

关于R^2的关系矩阵的计算是RxR的，其中第一行第一列的元素是第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵第一列对应位置的元素相乘完之和再相加得到的，第二行第三列的元素是第一个矩阵的第二行元素与第二个矩阵的第三列对应位置的元素相乘完之和再相加得到的。R^3，R^n都是这样计算的。

2.关系的性质

2.1自反与反自反

注意这里是对任意的x都要满足或者不满足这个关系，才能说R在A上是自反或者非自反的，比如：

其中A={1，2，3}，对于R2来说，对于任意的1，2，3都满足<1,1>,<2,2>,<3,3>属于R，则R在A上是自反的，而对于R3来说任意x都不满足这个关系，所以是非自反的，对于R1，有的满足，有的不满足，属于高不成低不就，所以既不是自反的也不是非自反的，总的来说，自反就是全都满足，反自反就是全都不满足