数据结构——数

直接解

【剑指offer】43. 1～n 整数中 1 出现的次数

题目描述

// 力扣
// 输入一个整数 n ，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

// 例如，输入12，1～12这些整数中包含1 的数字有1、10、11和12，1一
// 共出现了5次。

 
// 牛客

// 求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？
// 为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现
// 6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加
// 普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1
// 出现的次数）。

题解：

// 题目比较难，需要比较数学的处理。我们将个位，十位，百位等等这些位分开讨论。
// 比如n=126，1出现的次数 = (个位的1出现次数)+(十位的1出现次数)+(百位的1出现次数)

// 力扣
// 这里是无注释的干净算法代码，注释版在下面
// 执行用时：0 ms, 在所有 Java 提交中击败了100.00%的用户
// 内存消耗：35 MB, 在所有 Java 提交中击败了86.22%的用户
class Solution {
    public int countDigitOne(int n) {
		int count = 0;
		int weight = 0;
		int low = 0;
		int high = n;
		for (int base = 1; base <= n; base *= 10) { 
			weight = high % 10;  
			high = high / 10;
			low = n % base;
			if (weight > 1)
				count += (high * base + base);
			else if (weight == 1)
				count += (high * base + low + 1);
			else 
				count += (high * base);
		}
		return count;
	}
}


// 力扣
// 下面是代码注释
// 执行用时：0 ms, 在所有 Java 提交中击败了100.00%的用户
// 内存消耗：35 MB, 在所有 Java 提交中击败了86.22%的用户
class Solution {
    public int countDigitOne(int n) {
		int count = 0;   // 保存答案，记录1出现的次数
		int weight = 0;  // 位指针，从个位开始到十位 百位，直至最高位遍历
		int low = 0;     // 位指针外的低位，初始化为0
		int high = n;    // 位指针外的高位，初始化为n
		// for循环遍历n的位数，weight从最低位个位到n的最高位遍历，
		// 遍历位的基数记为base。
		// 比如n=126，则位指针weight从低到高将遍历6（个位）2（十位）1（百位）
		// 则base分别为1（个位）,10（十位）,100（百位）。
		for (int base = 1; base <= n; base *= 10) { 
			// 计算位指针weight，高位high÷10取余即可得到，
			// 如n=126, 则weight=6（个位）
			weight = high % 10;  
			// 高位high随着位指针weight的移动而左移，由于high初始化为n
			// 之后算high直接high÷10取整即可。
			// 假如n=126，位指针weight=6，则high = 126 / 10 = 12（取整）
			// 正好是6左边的数，可见位指针weight和高位high的计算是除法的
			// 两种取法。高位high每次÷10时，取整就可以左移得到下一次遍历的高位high，
			// 取余就可以得到下一次遍历的位指针weight。我们利用这个特点
			// 将高位high初始化为n，就可以得到第一个位指针weight。
			high = high / 10;
			// 低位的计算比较巧妙，在循环中，位指针weight从个位开始不断左移
			// 的同时，我们记录了位指针weight所在位的基数base。
			// 假如n=126，位指针weight指向了2，那么所在位的基数base为10（十位）
			// 低位low通过n÷base取余可以得到。换句话说，由于得知位指针weight的
			// 位置和基数，通过除法取余可以得到位指针weight右边的所有内容。
			low = n % base;
			// 计数方法：【"1"出现的次数=(个位的"1"出现次数)+(十位的"1"出现次数)+...】
			// 根据这个原则，指针weight移动到哪位，我们就计算哪位的"1"的出现次数。
			// 当指针遍历的位数字大于1时，该位出现"1"的次数，肯定包含高位数字本身
			// 并且还包含当前位的基数。为什么呢？
			// 假如n=126，指针weight指向6，因为是个位，首先基数base是1。
			// weight>1，个位要到达6，就必须出现过一次"1"，所以要+base
			// 如果指针weight指向2，因为是十位，首先base是10，
			// weight>1，十位要达到2，就必须出现过十次"1"，所以还是要+base。
			// weight为其他位时也同理。
			
			// 那么加上高位high * base意思也是一样的，n=126，
			// 指针weight指向6，则指针位肯定出现过base次的"1"，高位high为12，
			// 能到达n = 12*base + 6*base这么大的数，weight遍历位已经出现过
			// 12 * base轮的"1"了。所以还要加 high * base。
			if (weight > 1)
				count += (high * base + base);
			// 若指针位weight==1，加high * base是不变的，但是由于weight不大于1
			// ，到达当前指针weight这个数时出现的"1"可能不满base次，所以不能直接+base
			// ，因为weight是1，每个和weight搭配的low都会使遍历位出现1次"1"，
			// 所以出现了low次"1"，再加上low=0还会出现一次"1"，"1"总共出现了low+1次。
			// 比如weight=1，low=4，那么遍历位的"1"肯定出现了4 + 1次，分别是
			// 10,11,12,13,14。
			else if (weight == 1)
				count += (high * base + low + 1);
			// 如果指针位weight为0，那么当前遍历位和低位都不会对当前遍历位
			// 出现"1"有帮助。当前位出现"1"只可能来源于高位high，直接加 high * base
			else 
				count += (high * base);
		}
		return count;  // 循环结束，返回count
	}
}


// 牛客
// 运行时间：11ms
// 占用内存：9652k
public class Solution {
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
		int count = 0;
        int weight = 0;
        int high = n;
        int low = 0;
        for (int base = 1; base <= n; base *= 10) {
            weight = high % 10;
            high = high / 10;
            low = n % base;
            if (weight > 1)
                count += (high * base) + base;
            else if (weight == 1)
                count += (high * base) + low + 1;
            else 
                count += (high * base);
        }
        return count;
    }
}

【剑指offer】44. 数字序列中某一位的数字

题目描述

// 44. 数字序列中某一位的数字


// 力扣
// 数字以0123456789101112131415…的格式序列化到一个字符序列中。
// 在这个序列中，第5位（从下标0开始计数）是5，第13位是1，第19
// 位是4，等等。

// 请写一个函数，求任意第n位对应的数字。

题解：

// 1.先求n所在的数字属于几位数，2.后求n所在的数字num，3.最后求n在数字num的第几位
// 如n=11，我们将
// 1：先求n所在的数字属于2位数
// 2：后求n所在的数字为10，
// 3：最后求得n在数字10的第二位，即目标为数字0。

// 力扣
// 执行用时：0 ms, 在所有 Java 提交中击败了100.00%的用户
// 内存消耗：35.3 MB, 在所有 Java 提交中击败了33.22%的用户
class Solution {
    public int findNthDigit(int n) {
		// 位数记录，如11为2位数，123为3位数。初始化digit为1
		int digit = 1;  
		// 当前以位数digit所开始的数字，2位数开始的数字为10，1位数
		// 开始的数字为1（0不算1位数）
		long start = 1;  
		// 在当前位数digit下包含的数字数量。由于位数digit初始化为1，
		// 所以位数为1的数字总共有1 2 3 4 5 6 7 8 9，共9个数字。
		long count = 9;
		// 先求n所在的数字num的位数digit
		// 如果位数数字总数count少于n,执行循环
		while (count < n) {  
			n -= count;   // n减去当前位数数字总数count,若n=15,更新为n=15-9=6
			digit++;      // 位数更新
			start *= 10;  // 位数digit开始的数字start根据位数进行更新
			count = 9 * start * digit;  // count根据start和digit进行更新
		}
		// 若n=15更新为了n=6。位数digit同时可以理解为所在位数区间内
		// 所有数字的长度，digit=2，说明所在位数区间内所有数字长度都为2，
		// 而n-1表示从start（start=10）数字第一位开始，到达n=6位置的数位长度
		// （所经历的位）即1->0->1->1->1->2，长度为5。
		// 那么(n-1)/digit即可得到数字本身从start开始，在位数区间的数字长度（所经历的数）
		// 即10->11->12，长度为2。此时再加上start即可得到n所在的数字num
		long num = start + (n - 1) / digit;
		// 求n所在数字的第几位
		// n-1表示从start（start=10）数字第一位开始，到达n=6位置的数位长度
		// 我们直接看这个长度能不能被digit整除即可
		int i = (n - 1) % digit;
		return Long.toString(num).charAt(i) - '0';
    }
}

【剑指offer】49. 丑数

题目描述

// 力扣
// 我们把只包含质因子 2、3 和 5 的数称作丑数（Ugly Number）。求
// 按从小到大的顺序的第 n 个丑数。

// 牛客
// 把只包含质因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑
// 数，但14不是，因为它包含质因子7。 习惯上我们把1当做是第一个丑数。
// 求按从小到大的顺序的第N个丑数。

题解：

///

// 由题意可知，丑数n因子包括2 3 5，如果一个数能被2，3，5整除，那么连续将
// 其因子2，3，5除尽后（while (n%2 == 0): n = n/2...）得到的数为1。
// 这个数n就是丑数。我们大可以从1开始一个个判断每个整数是不是丑数

// 但是这样做效率太低了。
// 由于丑数因子相同，所以小丑数 × 2/3/5可以得到大丑数，这就可以用一个
// 数组存储丑数，利用动态规划使得我们从小丑数推断出大丑数。
// 注意要维持数组从小到大的性质。

// 力扣
// 执行用时： 2 ms, 在所有 Java 提交中击败了99.11% 的用户
// 内存消耗：37.3 MB, 在所有 Java 提交中击败了93.79%的用户
class Solution {
    public int nthUglyNumber(int n) {
		// for循环用于递归丑数数组的每一个位置，将该位置对应
		// 的丑数从小到大推断出来。由于丑数只包含2 3 5这三个因子，
		// 我们根据前面的小丑数，分别乘这三个因子就可以得到后面的大丑数，
		// i2，i3，i5用于前面“小丑数”的索引，dp[i2]用于乘2，dp[i3]用于乘3，
		// dp[i5]用于乘5，索引均初始化为0（数组第一位），
		// 由于要分别乘3个因子，所以会得到3个丑数，又因为需要升序，
		// 所以取乘出的三个丑数中最小的丑数作为当前遍历位置丑数即可。
		// 此时参加推断的索引右移一位。
		
		// 注意：再次强调，丑数的因子只有2,3,5，
		// 我们设置i2，i3，i5这三个索引从0开始右移，
		// 专门用于遍历索引乘2,3,5。也就是说所有的“小丑数”
		// 都有机会被i2，i3，i5遍历并乘2 3 5中的任意一个，来推导下一个丑数
		// 所以这个过程，就足以包含所有小丑数，推导出大丑数的所有情况（三种乘法）
        int i2 = 0, i3 = 0, i5 = 0;
		// 构建长度为n的数组，推断出的第n个元素(尾元素)就是我们要的元素
		int[] dp = new int[n];
		// 数组第一个丑数为1
		dp[0] = 1;
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			int b2 = dp[i2] * 2, b3 = dp[i3] * 3, b5 = dp[i5] * 5;
			dp[i] = Math.min(b2, Math.min(b3, b5));
			if (dp[i] == b2)
				i2++;
			if (dp[i] == b3)
				i3++;
			if (dp[i] == b5)
				i5++;
		}
		return dp[n - 1];
    }
}

// 牛客
// 运行时间：11ms，超过88.19%用Java提交的代码
// 占用内存：9584KB，超过71.92%用Java提交的代码
public class Solution {
    public int GetUglyNumber_Solution(int index) {
        if (index == 0)
            return 0;
        int[] dp = new int[index];
        dp[0] = 1;
        int i2 = 0, i3 = 0, i5 = 0;
        for (int i = 1; i < index; i++) {
            int b2 = dp[i2] * 2, b3 = dp[i3] * 3, b5 = dp[i5] * 5;
            dp[i] = Math.min(b2, Math.min(b3, b5));
            if (dp[i] == b2)
                i2++;
            if (dp[i] == b3)
                i3++;
            if (dp[i] == b5)
                i5++;
        }
        return dp[index - 1];
    }
}

【剑指offer】60. n个骰子的点数

题目描述：

// 60. n个骰子的点数


// 力扣
// 把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，
// 打印出s的所有可能的值出现的概率。
// 你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 
// 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。

// 这题其实可理解为求所有掷出点数的概率

题解：

// 力扣
// 如果n=1个骰子，可能出现的值的和为[1-6]一共6种，每个值概率相同，
// 如果n=2个骰子，可能出现的值的和为[2-12]共11种，
// 和为s=2的概率为1/6 * 1/6，
// 和为s=3的概率为1/6 * 1/6 (1和2) + 1/6 * 1/6 (2和1)。
// 如果n=3个骰子，可能出现的值的和为[3-18]共16种,
// 和为s=3的概率为1/6 * 1/6 * 1/6，
// 和为s=4的概率为1/6 * 1/6 * 1/6 (1 1 2) + 1/6 * 1/6 * 1/6 (2 1 1)
// + 1/6 * 1/6 * 1/6 (1 2 1)
// 
// 可以看出，n个骰子的点数可以分解为n-1个骰子的点数遇到1个骰子的点数，
// 如此循环，其实是一个动态规划问题。
// 我们用数组下标作为骰子点数来理解，1个骰子的每一个点数出现的概率是1/6，
// 由于骰子从1开始，一路动态规划到n个骰子，所以我们将初始化n-1个骰子
// 概率为double[] pre = {1/6d, 1/6d, 1/6d, 1/6d, 1/6d, 1/6d}。
// 我们称pre为点数-概率计数数组，索引就是点数，元素就是点数(和)对应的概率
// 
// for循环从2到n遍历会递增的骰子数量，记为i，假设n=2，则此时i=n=2，
// 根据骰子数n构建目标概率数组temp，n=2可以分解为"n-1个"和"1个骰子",
// 第二层for循环遍历"n-1骰子"的概率pre[j]，再第三层for循环遍历"1个骰子"，
// 的概率（就是1/6，所以实际就是for循环遍历6次，每次乘1/6），
// 下标就是骰子点数，所以temp[j + t] += pre[j] * 1/6。
// 那么此时"n-1(n-1=1)个骰子"的第一个点数(j=0)，遇到"1个骰子"的第一个
// 点数(t=0)（点数就是下标，两边都是第一个点数，所以点数之和是0+0
// 所以点数之和的概率是temp[0 + 0](j=t=0)）
// 的概率是temp[0 + 0] = pre[j]*1/6 = 1/6*1/6。以此类推，
// 第三层for循环第一次完成之后，"n-1个骰子"的第一个点数，
// 遇到"1个骰子"的6个点数之和的概率都会被算出来，存入相应temp中，
// temp的索引就是相应的点数之和，temp的元素就是点数之和对应的概率。
//
// "n-1个骰子"的所有点数概率（pre同样也是，索引记录点数，元素记录概率）
// 之后都会和"1个骰子"的6个点数计算相遇概率，并将计算好的概率存入temp中
// 最后第二层循环完成，temp赋给pre，第一层for循环开始下一个骰子的计算。
//
// 所有循环完成，返回点数-概率计数数组pre。
// 执行用时：0 ms, 在所有 Java 提交中击败了100.00%的用户
// 内存消耗：38.6 MB, 在所有 Java 提交中击败了74.58%的用户
class Solution {
    public double[] dicesProbability(int n) {
		double[] pre = {1/6d, 1/6d, 1/6d, 1/6d, 1/6d, 1/6d};
		for (int i = 2; i <= n; i++) {
			double temp[] = new double[i*6 - i + 1];
			for (int j = 0; j < pre.length; j++) {
				for (int t = 0; t < 6; t++)
					temp[j + t] += pre[j] * 1/6;
			}
			pre = temp;
		}
		return pre;
    }
}



// 可以试着将过程打印出来
class Solution {
    public double[] dicesProbability(int n) {
		double[] pre = {1/6d, 1/6d, 1/6d, 1/6d, 1/6d, 1/6d};
		for (int i = 2; i <= n; i++) {
			double temp[] = new double[i*6 - i + 1];
			for (int j = 0; j < pre.length; j++) {
				arrPrint(temp);
				for (int t = 0; t < 6; t++)
					temp[j + t] += pre[j] * 1/6;
			}
			pre = temp;
		}
		return pre;
    }
	
	// 辅助函数：将int[] 打印出来
    private static void arrPrint(double[] arr) {
        StringBuilder str = new StringBuilder();
        str.append("[");
        for (double v : arr) {
            str.append(v + ", ");
        }
        str.delete(str.length() - 2, str.length());
        str.append("]");
        System.out.println(str.toString());
    }
}

【剑指offer】62. 圆圈中最后剩下的数字

题目描述：

// 62. 圆圈中最后剩下的数字


// 力扣
// 0,1,···,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里
// 删除第m个数字（删除后从下一个数字开始计数）。求出这个圆圈里剩下
// 的最后一个数字。

// 例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个
// 数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。


// 牛客
// 每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此
// 。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首
// 先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始
// 报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼
// 物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0...m-1报数....这样下去..
// ..直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏
// 版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友
// 的编号是从0到n-1)

// 如果没有小朋友，请返回-1

题解：

// 力扣
// 数组的查找问题。n是数组长度，数组为[0, 1, .. , n-1]，元素等于索引，
// 步长为m。首先是升序数组，但是看题意无法用二分查找，而是约瑟夫环问题。
// 
// 如果数组长度n=0，说明数组啥也没有，直接返回-1，
// 如果n=1，说明数组只有一个数0，剩下的数就是这个0，直接返回0。
// 
// 返回主函数的递归调用，递归调用下一次去掉数字的情况，
// 去掉一个数字之后，数组长度为n - 1（去掉谁不重要，重要的是剩下谁
// ，所以我们不关心新数组其他元素的内容，不特意去修改，而是关心
// 去掉数字之后数组的长度为n-1），步长依然是m。
// 如果题目中每一次去掉的数字，都是从头往右数第m个位置，
// 那下一个去掉的元素就是lastRemaining(n - 1, m)。但是根据题意，
// 下一个要去掉的元素要在上一个去掉元素的位置开始，再往右数。
// 而上一个次去除元素时已经右移m个位置了，
// 所以下一个要去掉的元素为 lastRemaining(n - 1, m) + m，
//                   总偏移量 = (从头往右的偏移量) + (上一个位置的偏移量）   
// 注意，(总偏移量) 需要处理成 (总偏移量)%n，来模拟进位
// 的情况，如果 (lastRemaining(n - 1, m) + m) 的总偏移量超过数组遍历的长度，
// 则需要除n取余，来获得进位后的索引元素，
// 而如果 (lastRemaining(n - 1, m) + m)的总偏移量不超过数组长度，那么
// (总偏移量)%n 就是(总偏移量)自己，则不进位，“无事发生”。
// 比如：n=5, m=3
// [0, 1, 2, 3, 4]
// 第一次到2位置，删除2，下一个位置是2 + m = 2 + 3 = 5，5已经超过数组
// 遍历长度，进位:5 % 5 = 0，则进位到0这个位置元素，所以下一个删除元素
// 是0，如此递归循环下去。最后剩下一个元素时，依靠之前的条件判断
// 跳出递归返回即可。

// 执行用时：11 ms, 在所有 Java 提交中击败了46.60%的用户
// 内存消耗：40.3 MB, 在所有 Java 提交中击败了31.54%的用户
class Solution {
    public int lastRemaining(int n, int m) {
        if (n == 0)
			return -1;
		if (n == 1)
			return 0;
		return (lastRemaining(n - 1, m) + m) % n;
    }
}




// 牛客
// 运行时间：11ms，超过92.79%用Java提交的代码
// 占用内存：9972KB，超过11.00%用Java提交的代码
public class Solution {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if (n == 0)
            return -1;
        if (n == 1)
            return 0;
        return (LastRemaining_Solution(n - 1, m) + m) % n;
    }
}

【剑指offer】64. 求1+2+…+n

题目描述：

// 64. 求1+2+…+n

// 力扣
// 求 1+2+...+n ，要求不能使用乘除法、for、while、if、else、switch
// 、case等关键字及条件判断语句（A?B:C）。

// 牛客
// 求1+2+3+...+n，要求不能使用乘除法、for、while、if、else、switch、c
// ase等关键字及条件判断语句（A?B:C）。

题解：

// 力扣
// 【伪解法】
// 首先会想到递归方法，但是if语句不让用，咋办呢？
// 执行用时：0 ms, 在所有 Java 提交中击败了100.00%的用户
// 内存消耗：35.6 MB, 在所有 Java 提交中击败了71.67%的用户
class Solution {
    public int sumNums(int n) {
		if (n = 1)
			return 1;
		return sumNums(n - 1) + n;
    }
}


// 力扣
// 【正式方法】
// 这时候就需要换种方式终止递归条件。还记得&&运算具有短路功能，
// 如果&&之前的内容不成立，&&之后的内容将无法执行。
// 我们设置一个boolean值b，做(n > 0)和 A逻辑 的&&运算，
// 这个A包含sumNums递归调用的逻辑，A是什么不重要，重要的是它能够
// 递归起来，帮我们把运算算完。这里我们设置一个合理的A，
// A 为 (sum += sumNums(n - 1)) > 0。这样我们可以递归调用
// sumNums，并把返回值累加到sum中，sum将被初始化为主函数输入n。
//
// 递归到当n=1变为n=0时，b前面的(n > 0)不成立，&&运算截断，递归自动停止。
// 我们返回的sum就是我们要的1+2+..+n。
// 
// 注：A逻辑是什么不重要，重要的是它可以帮我们递归主函数
// 你甚至可以写成((sum += sumNums(n - 1)) < 0)。
class Solution {
    public int sumNums(int n) {
		int sum = n;
		boolean b = (n > 0) && ((sum += sumNums(n - 1)) > 0);
		return sum;
    }
}



// 牛客
// 运行时间：10ms超过86.46%用Java提交的代码
// 占用内存：9824KB超过1.60%用Java提交的代码
public class Solution {
    public int Sum_Solution(int n) {
        int sum = n;
        boolean b = (n > 0) && ((sum += Sum_Solution(n - 1)) > 0);
        return sum;
    }
}

特殊解——分治法 ：

【剑指offer】16. 数值的整数次方

题目描述：

// 力扣
// 实现函数double Power(double base, int exponent)，
// 求base的exponent次方。不得使用库函数，同时不需要考虑
// 大数问题。

 
// 牛客
// 给定一个double类型的浮点数x和int类型的整数exponent。
// 求x的exponent次方。
// 保证x和exponent不同时为0

题解：

// 直接法 //

// 牛客
// 运行时间：27ms
// 占用内存：10648k
public class Solution {
    public double Power(double x, int n) {
        if (x == 0)
            return 0;
        if (n == 0)
            return 1;
        if (n == 1)
            return x;

        if (n > 0) {
            double res = x;
            for (int i = 1; i < n; i++)
                res *= x;
            return res;
        }
        else {
            double res = 1/x;
            for (int i = 1; i < -n; i++)
                res *= 1/x;
            return res;
        }
	}
}

// 分治算法
// n个x相乘：x*x*...*x（n个）
// 其实可以分成(x*x*...*x)*(x*x*...*x)
// 				 (n/2个)     (n/2个)
// 以此类推，可以一直分下去，每次分治都减少一半。
// 需要特别注意的是，如果n是偶数直接分治就行。
// 如果n是奇数，还需要多乘一个x。

// 力扣
// 执行用时：1 ms, 在所有 Java 提交中击败了96.53%的用户
// 内存消耗：38.2 MB, 在所有 Java 提交中击败了5.87%的用户
public class Solution {
	public double Power(double x, int n) {
		if (x == 0) return 0;
			
		double res = 0;
		if (n > 0) {
			res = pow(x, n);
		}
		else {
			res = pow(1/x, n);
		}
		return res;
	}

	// 分治法n次方计算函数
	// 将n个x相乘，分为两个n/2个x相乘
	// 输入变量为：基数x，幂次n
	private double pow(double x, int n) {
		if (n == 0) return 1;  // 若n==0，返回1
		if (n == 1) return x;  // 若n==1，返回x，递归终止
		// 递归调用分治法函数，继续顺延分治计算，直到n为1
		double res = pow(x, n/2);  
		res = res * res;  // 实现分治逻辑，得到的res合并相乘
		if (n % 2 != 0)  // 如果是奇数(无法被2整除)
			res *= x;  // 多乘一个x
		return res;  // 最后返回res
	}
}

// 牛客
// 运行时间：22ms
// 占用内存：10652k
public class Solution {
    public double Power(double x, int n) {
        if (x == 0) return 0;

        double res = 0;
        if (n > 0) {
            res = pow(x, n);
        }
        else {
            res = pow(1/x, n);
        }
        return res;
    }

    private double pow(double x, int n) {
        if (n == 0) return 1;
        if (n == 1) return x;
        double res = pow(x, n/2);
        res = res * res;
        if (n % 2 != 0)  // 如果是奇数(无法被2整除)
            res *= x;
        return res;
    }
}

特殊解——位运算 ：

【剑指offer】15. 二进制中1的个数

题目描述：

// 力扣
// 请实现一个函数，输入一个整数（以二进制串形式），输出该数二进
// 制表示中 1 的个数。例如，把 9 表示成二进制是 1001，有 2 位是 
// 1。因此，如果输入 9，则该函数输出 2。

// 牛客
// 输入一个整数，输出该数32位二进制表示中1的个数。其中负数用补码表示。

题解：

/// 逐次运算 ///

// 牛客
// 无法通过测试，超出时间限制
public class Solution {
    public int NumberOf1(int n) {
        if (n == 0)
            return 0;
        int index = 1;
        int count = 0;
        while (index != 0)
            if ((index & n) != 0)  // 与运算找1，如果当前位是0，与运算结果就是0，count不会递增
                count++;
            index = index << 1;  // index二进制整体左移一位
        return count;
    }
}

// 末位相消 //


// 最好还是用这种末位相消的方法来通过测试
// 假如一个二进制数010100，减1之后为010011，
// 可以看到，原来最右边的1变成了0
// 原来最右边的1再往右的所有0全变成了1。
// 如果让010100和010011做与运算，得到010000，
// 和原来010100比，010000最右边的1被与运算相消了
// 所以其实一个数n和n-1做与运算，可以消掉n最右边的1。

// 牛客
// 运行时间：10ms
// 占用内存：9556k
public class Solution {
	public int NumberOf1(int n) {
		if (n == 0)
			return 0;
		int count = 0;
		while (n != 0) {
			n = n&(n-1);
			count++;
		}
		return count;
	}
}

// 力扣
// 执行用时：1 ms, 在所有 Java 提交中击败了98.11%的用户
// 内存消耗：35.7 MB, 在所有 Java 提交中击败了43.89%的用户
public class Solution {
    // you need to treat n as an unsigned value
    public int hammingWeight(int n) {
		if (n == 0)
			return 0;
		int count = 0;
		while (n != 0) {
			n = n&(n-1);
			count++;
		}
		return count;
    }
}

【剑指offer】65. 不用加减乘除做加法

题目描述：

// 65. 不用加减乘除做加法

// 力扣
// 写一个函数，求两个整数之和，要求在函数体内不得使用 “+”、“-”、“*”
// 、“/” 四则运算符号。

// 牛客
// 写一个函数，求两个整数之和，要求在函数体内不得使用+、-、*、/四则运
// 算符号。

题解：

 位运算 //

// 力扣
// 无进位情况下，位运算加法和异或逻辑运算相同，所以a ^ b表示没有进位的情况
// 下两数的和。有进位情况下，位运算加法和与逻辑运算相同（结果左移一位）
// 所以 (a & b) << 1 是进位情况下两数的和。
// 递归调用主函数add，将进位的加法结果和不进位的加法结果相加，
// 递归终止条件为当b==0，由于进位加法是与逻辑运算左移，
// 左移到最后会使得所有位为，即可停止。
// 执行用时：0 ms, 在所有 Java 提交中击败了100.00%的用户
// 内存消耗：35.3 MB, 在所有 Java 提交中击败了39.68%的用户
class Solution {
    public int add(int a, int b) {
		if (b == 0)
			return a;
		return add(a ^ b, (a & b) << 1);
    }
}


// 牛客
// 运行时间：13ms，超过58.96%用Java提交的代码
// 占用内存：9600KB，超过72.42%用Java提交的代码
public class Solution {
    public int Add(int num1,int num2) {
        if (num2 == 0)
            return num1;
        return Add(num1 ^ num2, (num1 & num2) << 1);
    }
}

特殊解——贪心算法 ：

【剑指offer】14.1. 剪绳子

题目描述：

// 力扣
// 给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段
// （m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0]
// ,k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大
// 乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度
// 分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

// 牛客
// 给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数
// ，n>1并且m>1，m<=n），每段绳子的长度记为k[1],...,k[m]。请问k
// [1]x...xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我
// 们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

题解：

/ 动态规划 //
// 牛客
// 动态规划解不难，但是需要换个思路来理解。这时就可以把题目理解成，
// "找出整数n能够被其他小于n的正整数k[i](i>=0)加起来的所有组合(k[0],k[1],...,k[m])，
// 在这个过程中，再找出这些组合里乘积最大的，并返回这个乘积。"
// 把这个问题抽象出来，再动态规划求解：
// 对于整数n，n的组合数，
// 不仅是第一个组合数可以取任何值，第二个组合数也可以取任何值，
// 在动态规划题目《青蛙跳台阶》问题中，青蛙只能跳1阶或者2阶，
// 也就是说组合数只能要么是1，要么是2。
// 而在题目《变态跳台阶》问题中，这个青蛙可以跳1阶，也可以直接跳n阶
// 组合数可以取任意值。所以其实这道题的动态规划解，跟《变态跳台阶》问题很像。
// 但是中途要保存组合数最大的积，且组合数相加不超过n。

// 组合数可以取1，剩下n-1，有f(n-1)种可能
// 可以取2，剩下n-2，有f(n-2)种可能
// ...
// 且有f(n)=f(1)+f(2)+...+f(k1-1)+f(k1)，(1+2+..+k1=n, 1<k1<n)
// f(k1)=f(1)+f(2)+..+f(k2-2)+f(k2-1)，(1+2+..+k2=k1, 1<k2<k1)
// ...
// f(2)=1

// 力扣
// 执行用时：0 ms, 在所有 Java 提交中击败了100.00%的用户
// 内存消耗：35.3 MB, 在所有 Java 提交中击败了60.53%的用户
class Solution {
	public int cuttingRope(int n) {
		if (n < 2)
			return 0;
		if (n == 2)
			return 1;
        if (n == 3)
            return 2;
		int[] f = new int[n + 1];
		f[1] = 1;
        f[2] = 2;
        f[3] = 3;
		for (int i = 4; i <= n; i++) {
            int max = 0;
			for (int j = 1; j <= i/2; j++) {
				if (max < f[j]*f[i-j])
					max = f[j]*f[i-j];
			}
            f[i]=max;
		}
		return f[n];
	}
}

// 执行用时：1 ms, 在所有 Java 提交中击败了42.32%的用户
// 内存消耗：35.3 MB, 在所有 Java 提交中击败了62.66%的用户
class Solution {
	public int cuttingRope(int n) {
		if (n < 2)
			return 0;
		int[] f = new int[n + 1];
		f[1] = 1;
		for (int i = 2; i <= n; i++) {
			for (int j = 1; j < i; j++) {
				if (f[j] <= j && f[i] < j*(i-j))
					f[i] = j*(i-j);
				if (f[j] > j && f[i] < f[j]*(i-j))
					f[i] = f[j]*(i-j);
			}
		}
		return f[n];
	}
}

// 牛客
// 运行时间：12ms
// 占用内存：9732k
public class Solution {
    public int cutRope(int n) {
        if (n < 2)  // 题目已经说了会大于等于2，但还是习惯了写这个
            return 0;
        int[] f = new int[n + 1];
        f[1] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (f[j] <= j && f[i] < j*(i-j))
                    f[i] = j*(i-j);
                if (f[j] > j && f[i] < f[j]*(i-j))
                    f[i] = f[j]*(i-j);
            }
        }
        return f[n];
    }
}

 贪心算法 /

// 需要记住的是：这类问题尽可能拆分出长度为3的绳子，
// 直到拆不出3，那就拆分成2，此时的总乘积就是最大的

// 力扣
// 执行用时：0 ms, 在所有 Java 提交中击败了100.00%的用户
// 内存消耗：35.5 MB, 在所有 Java 提交中击败了33.21%的用户
class Solution {
	public int cuttingRope(int n) {
        if (n < 2)
			return 0;
		if (n == 2)
			return 1;
		if (n == 3)
			return 2;
		int to3 = n / 3;  // n/3，表示n中分理出to3这么多个3
		// n如果能被3整除，那么to3=n/3, to3*3=n,所以n-to3*3==0
		// 如果n不能被3整除，n-to3即为n/3的余数
		// 如果n/3余数为1，则to3减1
		// 如果n/3余数为2，则to3不变。（n/3，余数要么是1要么是2）
		if (n - to3 * 3 == 1)
			to3--;
		// 如果n/3的余数(n - to3*3)为1,to3减1相当于放回一个3给(n - to3*3)
		// 此时(n - to3*3)=4
		// 如果n/3的余数(n - to3*3)为2，则to3不变，(n - to3*3)=2
		int to2 = (n - to3 * 3) / 2;
		// 分离好了2和3，直接返回3^to3 * 2^to2(to3个3相乘，乘to2个2相乘)
		return (int) (Math.pow(3, to3)) * (int) (Math.pow(2, to2));
	}
}


// 牛客
// 运行时间：12ms
// 占用内存：9716k
public class Solution {
    public int cutRope(int n) {
        if (n < 2)
			return 0;
		if (n == 2)
			return 1;
		if (n == 3)
			return 2;
		int to3 = n / 3; 
		if (n - to3 * 3 == 1)
			to3--;
		int to2 = (n - to3 * 3) / 2;
		return (int) (Math.pow(3, to3)) * (int) (Math.pow(2, to2));
    }
}

【剑指offer】14.2. 剪绳子 II

题目描述：

// 给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整
// 数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m - 1] 。请问
// k[0]*k[1]*...*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度
// 是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

// 答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，
// 请返回 1。

题解：

/ 贪心算法 //
// 思路和剪绳子 I一样的，但是需要把过程分离，
// 每次乘3或乘2都要检查一下是否溢出
// 执行用时：0 ms, 在所有 Java 提交中击败了100.00%的用户
// 内存消耗：35.2 MB, 在所有 Java 提交中击败了81.56%的用户
class Solution {
	public int cuttingRope(int n) {
		if (n < 4) {
			return n - 1;
		}
		else if (n == 4) {
			return n;
		}
		long res = 1;;
		while (n > 4) {
			res *= 3;
			res %= 1000000007;
			n -= 3;
		}
		return (int) (res*n%1000000007);
	}
}

特殊解——动态规划 ：

【剑指offer】46. 把数字翻译成字符串

题目描述:

// 46. 把数字翻译成字符串


// 力扣
// 给定一个数字，我们按照如下规则把它翻译为字符串：0 翻译成 “a” ，
// 1 翻译成 “b”，……，11 翻译成 “l”，……，25 翻译成 “z”。一个数字可
// 能有多个翻译。请编程实现一个函数，用来计算一个数字有多少种不同
// 的翻译方法。

题解：

/// 动态规划 
// 力扣
// 执行用时：0 ms, 在所有 Java 提交中击败了100.00%的用户
// 内存消耗：35.2 MB, 在所有 Java 提交中击败了66.89%的用户
class Solution {
    public int translateNum(int num) {
		// num转为String类型用于遍历num中每个数字，记为s。
		// 之后所有操作都基于s。
		String s = Integer.toString(num);
		if (s == null || s.length() == 0)
			return 0;
		int len = s.length();  // 取s长度
		// dp数组，根据s[i-2]和s[i-1]（实际没有s[i-2]和s[i-1]）判断dp[i]
		// 比如dp[2]表示s中前两个元素的组合数
		int[] dp = new int[len + 1]; 
		dp[0] = 1;  // 初始化
		dp[1] = 1;
		for (int i = 2; i <= len; i++) {
			// 结合s[i-2]和s[i-1]的情况（记为temp），
			// 用dp[i-2] dp[i-1]来判断dp[i]
			String temp = s.substring(i - 2, i);
			// 如果temp中数字大于10，小于25，说明可以组合
			// dp[i]为dp[i - 2]和dp[i - 1]之和。
			if (temp.compareTo("10") >= 0 && temp.compareTo("25") <= 0)
				dp[i] = dp[i - 2] + dp[i - 1];
			else 
				dp[i] = dp[i - 1];  // 否则不能组合，无法新增组合数
		}
		return dp[len];  // 最后返回dp结果，后一状态取决于前一状态，尾
						 // 元素即为最终状态
    }
}


// 力扣
// 简略写法
// 执行用时：0 ms, 在所有 Java 提交中击败了100.00%的用户
// 内存消耗：34.9 MB, 在所有 Java 提交中击败了97.16%的用户
class Solution {
    public int translateNum(int num) {
		String s = Integer.toString(num);
		if (s == null || s.length() == 0)
			return 0;
		int len = s.length();
		int[] dp = new int[len + 1];
		dp[0] = 1;
		dp[1] = 1;
		for (int i = 2; i <= len; i++) {
			String temp = s.substring(i - 2, i);  
			dp[i] = temp.compareTo("10") >= 0 && temp.compareTo("25") <= 0 ? dp[i-2] + dp[i-1] : dp[i-1];
		}
		return dp[len];
    }
}