本节课主要介绍的是数据库系统中的排序算法以及聚合算法

Sorting

排序算法分为两种：如果内存能够容纳一个关系的所有tuple，那么可以用任意的标准排序算法在内存中进行排序，如插入排序、快速排序等等；如果内存无法容纳一个关系的所有tuple，则只能使用外排序。

Top-N Heap Sort

如果一个查询包含ORDER BY加上LIMIT关键字的组合，则可以使用Top-N堆排序的做法，如下图所示，推排序的细节就不多讲了。

External Merge Sort

一种外排序算法是外部归并排序，主要分为以下两个步骤：

• Divide：将文件中的记录分为若干个归并段，使得每个归并段都能被加载到内存中进行单独排序
• Conquer：将若干个有序的归并段merge成最终结果

2-WAY External Merge Sort

一个简单的merge做法是二路归并，如下图例子所示，每次merge合并两个归并段，以此类推直到所有归并段合成一个段为止。在二路归并做法中，只需要内存提供三个缓存页（两个用于加载待merge的归并段，一个用于存放merge结果）。我们可以简单的估计该做法的IO复杂度，假设存放tuple的page数量为$N$，则我们最多需要做$\lceil lo{g}_{2}N\rceil$次归并，且每次归并需要对每个page进行读写，共计$2N$次IO操作，故总复杂度为$2N\ast (1+\lceil lo{g}_{2}N\rceil )$（需要加上第一次做内部排序的IO）

K-WAY External Merge Sort

更进阶的做法是将二路归并扩展至K路归并，因为二路归并中没有充分利用内存缓冲区（只是用了三页缓冲页）。假设内存缓冲页数量为$B$，可以在排序阶段就充分利用缓冲页进行优化，一次性加载$B$个page进行排序，相当于把$B$个page合成一个归并段了，这样子在开始归并之前就只有$\lceil \frac{N}{B}\rceil$个归并段；在归并阶段，最多可以利用$B-1$个缓存页进行多路归并（需要预留一个缓存页存放归并结果）。于是，最多只需执行$\lceil lo{g}_{B-1}\lceil \frac{N}{B}\rceil \rceil$次归并，每次归并的IO次数仍为$2N$，故总复杂度为$2N\ast (1+\lceil lo{g}_{B-1}\lceil \frac{N}{B}\rceil \rceil )$（需要加上第一次做内部排序的IO）

Double Buffering Optimization

可以使用两个buffer，当其中一个buffer在做排序处理时，将下一步需要处理的数据预加载到另一个buffer中，充分利用CPU与IO资源。

Aggregations

聚合操作一般有两种实现方式：排序以及哈希。

Sorting

在聚合的排序实现方式中，算法首先按照GROUP BY的key对tuple进行排序，使用第一节所讲的内排序或外排序。然后按序遍历元组进行聚合（因为此时相同key的元组处于相邻位置）

Hashing

在很多情况下，聚合操作并不要求元组是有序的，可以使用效率更高的哈希实现方法进行替代。哈希实现方式分为两个步骤：

• Partition：首先使用哈希函数h1将所有tuple按照GROUP BY的key进行分区（若内存中有$B$个缓存页，则分为$B-1$个分区）
• ReHash：对于每一个分区，使用哈希函数h2在内存中建立哈希表，并维护聚合所需信息（如最小值、总和等）

一个简单的例子如下图所示，如果想要求每一个分组的平均值，则在ReHash阶段，需要维护COUNT和SUM以便最后算出平均值。