0/1背包问题

实验要求

随机生成500个0/1背包问题（问题规模可以相对较小），分别使用贪心算法和动态规划进行求解，

要求：1）统计贪心算法求得最优值的概率，

2）计算比值

3）应用贪心算法求解时，统计最坏的情况下误差有多大，

4）实验结果跟实验设置的参数（如：背包容量、物品的体积）关系很大，简要分析参数对结果的影响。

设计分析

对0-1背包问题，可以设计多种贪心策略，如：

重量最轻的物品优先的贪心策略。

价值最大的物品优先的贪心策略。

单位价值最大的物品优先的贪心策略。

随机选择物品的贪心策略。

无法数学证明某一种策略的最优性，因此使用贪心法求解0-1背包问题时，必须尽可能多地枚举各种贪心策略，并从各种贪心策略的运行结果中，找出问题的近似最优解。

算法描述

根据每个物品的单位价值（即价值/体积），将物品从高到低排序。

依次考虑每个物品，若该物品的体积小于等于背包剩余容量，则将该物品放入背包中，并更新剩余容量。

若该物品的体积大于背包剩余容量，则将该物品不放入背包，考虑下一个物品。

重复步骤2-3，直到所有物品都被考虑完毕，或者背包容量已经全部用完为止。

该贪心算法的核心思想是：每次选择单位价值最大的物品放入背包中，这样可以保证在背包容量充足的情况下，每次放入物品都能使背包价值最大化。

源码：

import random

# 生成一个背包问题
def generate_knapsack_problem(n, max_volume, max_weight):
    # 物品数量
    items = list(range(1, n+1))
    # 物品体积和价值
    volumes = [random.randint(1, max_volume) for _ in items]
    values = [random.randint(1, max_weight) for _ in items]
    # 背包容量
    capacity = random.randint(max_volume, max_volume*2)
    return items, volumes, values, capacity

# 贪心算法求解0/1背包问题
def greedy_knapsack(items, volumes, values, capacity):
    n = len(items)
    ratios = [(i, values[i-1]/volumes[i-1]) for i in items]
    ratios.sort(key=lambda x: x[1], reverse=True)
    selected_items = []
    total_value = 0
    for i, ratio in ratios:
        if volumes[i-1] <= capacity:
            selected_items.append(i)
            total_value += values[i-1]
            capacity -= volumes[i-1]
    return selected_items, total_value

# 动态规划算法求解0/1背包问题
def dp_knapsack(items, volumes, values, capacity):
    n = len(items)
    dp = [[0] * (capacity+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, capacity+1):
            if volumes[i-1] > j:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-volumes[i-1]] + values[i-1])
    selected_items = []
    j = capacity
    for i in range(n, 0, -1):
        if dp[i][j] > dp[i-1][j]:
            selected_items.append(i)
            j -= volumes[i-1]
    selected_items.reverse()
    return selected_items, dp[n][capacity]

# 随机生成500个背包问题并求解
n_problems = 500
max_volume = 100
max_weight = 100

greedy_success = 0
total_ratio = 0
worst_ratio = 0
worst_error = 0

for i in range(n_problems):
    items, volumes, values, capacity = generate_knapsack_problem(10, max_volume, max_weight)
    greedy_items, greedy_value = greedy_knapsack(items, volumes, values, capacity)
    dp_items, dp_value = dp_knapsack(items, volumes, values, capacity)

    # 统计贪心算法求解最优值的概率
    if greedy_value == dp_value:
        greedy_success += 1

    # 计算贪心算法和动态规划算法求解结果的比值
    ratio = greedy_value / dp_value
    total_ratio += ratio

    # 计算贪心算法求解最差情况下的误差
    if len(dp_items) > len(greedy_items):
        worst_ratio += 1
        worst_error += dp_value - greedy_value

# 输出统计结果
print(f"贪心算法求解最优值的概率：{greedy_success/n_problems:.2%}")
print(f"贪心算法与动态规划算法求解结果的比值：{total_ratio/n_problems:.2f}")
print(f"贪心算法求解最差情况下的误差：{worst_error/worst_ratio:.2f}")