文章目录
- 曲线的渐近线
- 水平和垂直渐近线
- 斜渐近线
- 斜渐近线公式推导
- 简便方法确定斜渐近线(一次多项式化方法)
- 例
曲线的渐近线
- 渐近线综合了极限和函数图形的知识,尤其是斜渐近线
水平和垂直渐近线
-
若点 M M M沿曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)无限远离原点时,它于某条直线 L L L之间的距离将趋近于0,则称该直线 L L L为曲线的渐近线
-
若 L L L与 x x x轴平行,则该直线称为水平渐近线
- 若 lim x → ∞ f ( x ) = A \lim\limits_{x\to{\infin}}f(x)=A x→∞limf(x)=A(包括 x → − ∞ x\to{-\infin} x→−∞, x → + ∞ x\to{+\infin} x→+∞),则 y = A y=A y=A为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的水平渐近线
-
若 L L L与 y y y轴平行,则该直线称为垂直渐近线或铅直渐近线
- 若 lim x → x 0 f ( x ) = ∞ \lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)=\infin x→x0limf(x)=∞,(包括 x → x 0 − x\to{x_0}^{-} x→x0−, x → x 0 + x\to{x_0}^{+} x→x0+),则 x = x 0 x=x_0 x=x0为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的水平渐近线
- 注意只要有一侧满足条件,就称 x = x 0 x=x_0 x=x0处有渐进线
斜渐近线
-
若 L L L不与坐标轴平行,则该直线称为斜渐近线
- 若 lim x → ∞ f ( x ) x = a \lim\limits_{x\to{\infin}}\frac{f(x)}{x}=a x→∞limxf(x)=a且 lim x → ∞ ( f ( x ) − a x ) = b \lim\limits_{x\to{\infin}}(f(x)-ax)=b x→∞lim(f(x)−ax)=b;(包括 x → − ∞ x\to{-\infin} x→−∞, x → + ∞ x\to{+\infin} x→+∞),则 y = a x + b y=ax+b y=ax+b为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的斜渐近线
斜渐近线公式推导
- 动点
(
x
,
f
(
x
)
)
(x,f(x))
(x,f(x))到直线
L
L
L:
y
=
a
x
+
b
y=ax+b
y=ax+b的距离为
d
=
∣
f
(
x
)
−
a
x
−
b
∣
a
2
+
1
d=\frac{|f(x)-ax-b|}{\sqrt{a^2+1}}
d=a2+1∣f(x)−ax−b∣
(0), - 不妨设
f
(
x
)
f(x)
f(x)有在
x
→
+
∞
x\to{+\infin}
x→+∞时的渐近线,
- 由渐近线性质,
d
→
0
(
x
→
∞
)
d\to{0}(x\to{\infin})
d→0(x→∞),
lim
x
→
+
∞
∣
f
(
x
)
−
a
x
−
b
∣
=
0
\lim\limits_{x\to{+\infin}}|f(x)-ax-b|=0
x→+∞lim∣f(x)−ax−b∣=0
(1) - 由极限性质和式(1)可知
lim
x
→
+
∞
(
f
(
x
)
−
a
x
−
b
)
=
0
\lim\limits_{x\to{+\infin}}(f(x)-ax-b)=0
x→+∞lim(f(x)−ax−b)=0
(2), - 由函数加法极限运算法则:
lim
x
→
+
∞
(
f
(
x
)
−
a
x
)
=
b
\lim\limits_{x\to{+\infin}}(f(x)-ax)=b
x→+∞lim(f(x)−ax)=b,
(3)
- 由渐近线性质,
d
→
0
(
x
→
∞
)
d\to{0}(x\to{\infin})
d→0(x→∞),
lim
x
→
+
∞
∣
f
(
x
)
−
a
x
−
b
∣
=
0
\lim\limits_{x\to{+\infin}}|f(x)-ax-b|=0
x→+∞lim∣f(x)−ax−b∣=0
- 构造
lim
x
→
+
∞
(
f
(
x
)
x
−
a
)
\lim\limits_{x\to{+\infin}}(\frac{f(x)}{x}-a)
x→+∞lim(xf(x)−a)
(4);即 lim x → + ∞ 1 x ( f ( x ) − a x ) \lim\limits_{x\to{+\infin}}\frac{1}{x}({f(x)}-ax) x→+∞limx1(f(x)−ax)= lim x → + ∞ 1 x \lim\limits_{x\to{+\infin}}\frac{1}{x} x→+∞limx1 ⋅ \cdot ⋅ lim x → + ∞ [ f ( x ) − a x ] \lim\limits_{x\to{+\infin}}{[{f(x)}-ax]} x→+∞lim[f(x)−ax]= 0 ⋅ b 0\cdot{b} 0⋅b=0,所以 lim x → + ∞ ( f ( x ) x − a ) \lim\limits_{x\to{+\infin}}(\frac{f(x)}{x}-a) x→+∞lim(xf(x)−a)= 0 0 0,即 lim x → + ∞ f ( x ) x = a \lim\limits_{x\to{+\infin}}\frac{f(x)}{x}=a x→+∞limxf(x)=a(5) - (5),(3)两个极限,分别可求得
a
,
b
a,b
a,b,也就求得了渐近线
- lim x → + ∞ f ( x ) x = a \lim\limits_{x\to{+\infin}}\frac{f(x)}{x}=a x→+∞limxf(x)=a
- lim x → + ∞ ( f ( x ) − a x ) = b \lim\limits_{x\to{+\infin}}(f(x)-ax)=b x→+∞lim(f(x)−ax)=b
- 公式组表明,欲判断曲线 f ( x ) f(x) f(x)的斜渐渐线,需要针对 − ∞ , + ∞ -\infin,+\infin −∞,+∞两类情形,分别构造2个极限式,两者都存在时,就可以确定有相应的渐渐线
- Note:
- 关于式(3),还可以这样理解:于渐近线 L L L平行且过原点的直线方程为 L 0 : y = a x L_0:y=ax L0:y=ax
- 而当 x → ∞ x\to{\infin} x→∞时, f ( x ) f(x) f(x)与 L L L在 y y y轴方向上的距离 ∣ f ( x ) − ( a x + b ) ∣ → 0 |f(x)-(ax+b)|\to{0} ∣f(x)−(ax+b)∣→0,
- 即 ∣ f ( x ) − a x ∣ → ∣ a x + b − a x ∣ = ∣ b ∣ |f(x)-ax|\to{|ax+b-ax|}=|b| ∣f(x)−ax∣→∣ax+b−ax∣=∣b∣,所以有式(3)
简便方法确定斜渐近线(一次多项式化方法)
- 由于渐近线是直线,考虑从直线方程 y = a x + b y=ax+b y=ax+b找新途径
- 当 x x x足够大时,且 f ( x ) f(x) f(x)存在渐近线时,我们可以使用渐近线来近似 f ( x ) f(x) f(x)
- 一般得,若 f ( x ) f(x) f(x)能够表示为 f ( x ) f(x) f(x)= a x + b + α ( x ) ax+b+\alpha(x) ax+b+α(x), ( a ≠ 0 ) (a\neq{0}) (a=0),其中 α ( x ) \alpha(x) α(x)是一个 x → ∞ x\to{\infin} x→∞时得无穷小,那么就能说明 a x + b ax+b ax+b是 f ( x ) f(x) f(x)的斜渐近线
- 这种方法确定渐近线通常要搭配泰勒公式(麦克劳林公式),将非多项式多项式化
- 可以先从被求函数 f ( x ) f(x) f(x)提取出一个 x x x或 ∣ x ∣ |x| ∣x∣
- 对剩余部分作泰勒展开,且只需要展开到 1 x \frac{1}{x} x1(如果没有就只需要展开到常数项)就可以了, 1 x \frac{1}{x} x1的高次方无穷小可以用低次方代替,因为 o ( ( 1 x ) m ) o((\frac{1}{x})^{m}) o((x1)m)包含 o ( ( 1 m ) n ) o((\frac{1}{m})^{n}) o((m1)n), ( n > m ) (n>m) (n>m)
- 当然,反过来就不行,不能用高阶无穷小表示(代替)低阶无穷小
例
-
曲线 y y y= e 1 x 1 + x 2 e^{\frac{1}{x}}\sqrt{1+x^2} ex11+x2的渐进线
- 水平渐近线: y → 0 ( x → 0 ) y\to{0}(x\to{0}) y→0(x→0),因此无水平渐渐
- 垂直渐近线:
- 从定义域找有限值: x ≠ 0 x\neq{0} x=0
- 对于
lim
x
→
0
y
\lim\limits_{x\to{0}}y
x→0limy
- 具体要分 x → 0 − x\to{0^{-}} x→0−和 x → 0 + x\to{0^{+}} x→0+的情形
- lim x → 0 − 1 y \lim\limits_{x\to{0^{-1}}}y x→0−1limy= 1 1 1
- lim x → 0 + y \lim\limits_{x\to{0^+}}y x→0+limy= ∞ \infin ∞,因此 x = 0 x=0 x=0处存在垂直渐近线
- 斜渐近线(定义法)
- 构造 lim x → + ∞ e 1 x 1 + x 2 x \lim\limits_{x\to{+\infin}} \frac{e^{\frac{1}{x}}\sqrt{1+x^2}}{x} x→+∞limxex11+x2= 1 1 1= a 1 a_1 a1
-
b
1
b_1
b1=
lim
x
→
+
∞
(
e
1
x
1
+
x
2
−
a
1
x
)
\lim\limits_{x\to{+\infin}} (e^{\frac{1}{x}}\sqrt{1+x^2}-a_1x)
x→+∞lim(ex11+x2−a1x)=
lim
x
→
+
∞
(
e
1
x
1
+
x
2
−
x
)
\lim\limits_{x\to{+\infin}} (e^{\frac{1}{x}}\sqrt{1+x^2}-x)
x→+∞lim(ex11+x2−x)
- 这个极限是 ∞ − ∞ \infin-\infin ∞−∞未定式)
- 其计算可以通过适当的增减同一项,这里 − e 1 x x + e 1 x x -e^{\frac{1}{x}}x+e^{\frac{1}{x}}x −ex1x+ex1x,需要一定的经验和尝试找出合适的项
- 从而
b
1
b_1
b1=
lim
x
→
+
∞
(
e
1
x
1
+
x
2
−
e
1
x
x
+
e
1
x
x
−
x
)
\lim\limits_{x\to{+\infin}} (e^{\frac{1}{x}}\sqrt{1+x^2}-e^{\frac{1}{x}}x+e^{\frac{1}{x}}x-x)
x→+∞lim(ex11+x2−ex1x+ex1x−x),然后适当分组:
-
b
1
b_1
b1=
lim
x
→
+
∞
(
e
1
x
(
1
+
x
2
−
x
)
+
(
e
1
x
−
1
)
x
)
\lim\limits_{x\to{+\infin}} (e^{\frac{1}{x}}(\sqrt{1+x^2}-x)+ (e^{\frac{1}{x}}-1)x)
x→+∞lim(ex1(1+x2−x)+(ex1−1)x)
- lim x → + ∞ e 1 x ( 1 1 + x 2 + x ) \lim\limits_{x\to{+\infin}} e^{\frac{1}{x}}(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}) x→+∞limex1(1+x2+x1)= 0 0 0(分子有理化)
- lim x → + ∞ ( e 1 x − 1 ) x \lim\limits_{x\to{+\infin}} (e^{\frac{1}{x}}-1)x x→+∞lim(ex1−1)x= 1 1 1(等价无穷小)
- b 1 b_1 b1= 0 + 1 0+1 0+1= 1 1 1
-
b
1
b_1
b1=
lim
x
→
+
∞
(
e
1
x
(
1
+
x
2
−
x
)
+
(
e
1
x
−
1
)
x
)
\lim\limits_{x\to{+\infin}} (e^{\frac{1}{x}}(\sqrt{1+x^2}-x)+ (e^{\frac{1}{x}}-1)x)
x→+∞lim(ex1(1+x2−x)+(ex1−1)x)
- 因此 x → + ∞ x\to{+\infin} x→+∞的渐近线为 y = x + 1 y=x+1 y=x+1
- 类似的,可以求得另一条渐近线 x → − ∞ x\to{-\infin} x→−∞为 y = − x − 1 y=-x-1 y=−x−1
- 斜渐近线(一次多项式化方法)
-
y
y
y=
∣
x
∣
e
1
x
1
+
1
x
2
|x|e^{\frac{1}{x}}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}
∣x∣ex11+x21,
(
x
→
∞
)
(x\to\infin)
(x→∞)
- =
∣
x
∣
[
(
1
+
1
x
+
o
(
1
x
)
)
(
1
+
o
(
1
x
)
)
]
|x|[(1+\frac{1}{x}+o(\frac{1}{x}))(1+o(\frac{1}{x}))]
∣x∣[(1+x1+o(x1))(1+o(x1))]
- 这里 1 + 1 x 2 \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} 1+x21= 1 + o ( 1 x 2 ) 1+o(\frac{1}{x^2}) 1+o(x21)中的无穷小可以用 o ( 1 x ) o(\frac{1}{x}) o(x1)代替,
- = ∣ x ∣ ( 1 + 1 x + o ( 1 x ) ) |x|(1+\frac{1}{x}+o(\frac{1}{x})) ∣x∣(1+x1+o(x1))
- = ∣ x ∣ + ∣ x ∣ x + ∣ x ∣ o ( 1 x ) |x|+\frac{|x|}{x}+|x|o(\frac{1}{x}) ∣x∣+x∣x∣+∣x∣o(x1),其中 α ( x ) \alpha(x) α(x)= ∣ x ∣ o ( 1 x ) |x|o(\frac{1}{x}) ∣x∣o(x1)= o ( 1 x ) 1 ∣ x ∣ \frac{o(\frac{1}{x})}{\frac{1}{|x|}} ∣x∣1o(x1)是 x → ∞ x\to{\infin} x→∞的无穷小
- = x + 1 x+1 x+1+ α ( x ) \alpha(x) α(x), ( x > 0 ) (x>0) (x>0);或 − x − 1 + α ( x ) -x-1+\alpha(x) −x−1+α(x)
- =
∣
x
∣
[
(
1
+
1
x
+
o
(
1
x
)
)
(
1
+
o
(
1
x
)
)
]
|x|[(1+\frac{1}{x}+o(\frac{1}{x}))(1+o(\frac{1}{x}))]
∣x∣[(1+x1+o(x1))(1+o(x1))]
-
y
y
y=
∣
x
∣
e
1
x
1
+
1
x
2
|x|e^{\frac{1}{x}}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}
∣x∣ex11+x21,
(
x
→
∞
)
(x\to\infin)
(x→∞)
-
综上,共有3条渐近线
