参考 
Reinforcement Learning, Second Edition  
An Introduction 
By Richard S. Sutton and Andrew G. Barto

无模型方法

在前面的文章中，我们介绍的是有模型方法（Model-Based）。在强化学习中，"Model"可以理解为算法对环境的一种建模与抽象。这个模型用于捕捉智能体与环境之间的交互关系。建模的目的是为了帮助智能体更好地理解环境的动态特性，从而能够更有效地制定策略。在 Model-Based 方法中，智能体使用这个模型来规划未来的行动，而在 无模型方法（Model-Free） 方法中，智能体直接通过与环境的交互来学习策略，而不依赖于显式的环境模型。

无模型方法仅仅需要从环境中收集到 $S,A,R,...$ 序列，作为算法的经验，持续更新。

根据每一次采样序列的长短，无模型方法分为 MC 和 TD 两大类。

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MC 蒙特卡洛方法

从一个状态$s$出发，重复采样多条轨迹，每一条状态都采样直到终止状态，把轨迹的平均折扣回报作为状态价值的估计
$$V_{\pi }(s)=\mathbb{E}[G_t|s]\approx \frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{G}_t^i$$

MC 的增量更新

$$V_{\pi }(s)\leftarrow V_{\pi }(s)+\frac{1}{N}(G_t-V_{\pi }(s))$$

对于非平稳问题，增量更新为（红色：TD target）：

$$V_{\pi }(s)\leftarrow V_{\pi }(s)+\alpha (G_t-V_{\pi }(s))$$

缺点：

1. 只适用于有限幕问题
2. 更新慢，需要采样整条序列，然后才进行更新。

TD 时序差分方法

TD 在 MC 上做了修改，不需要采样整条序列，而是只采样一步（贝尔曼方程），用 $V$ 对后面所有的奖励进行估计（自举法） ，然后立刻进行更新（红色：TD target）:
$$V_{\pi }(s)\leftarrow V_{\pi }(s)+\alpha (R_{t+1}+\gamma V_{\pi }(S_{t+1})-V_{\pi }(s))$$
一般来说，TD方法比MC方法收敛更快。

MC vs TD

1. TD 可以在线学习，效率高一些，采样和学习可以同时进行，而MC不行，要一直模拟到游戏结束
2. TD 方差大，因为没训练好的时候$V$本身就估计不准，所以$V_{t+1}$引入了额外的误差

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强化学习中的重要性加权

例子引入：现在给定的轨迹是另一个策略 $\mu$ （顶级选手的下法$\mu (a|s)$）采样出来的，如果用$\mu$ 的轨迹计算得到的 $G_t$ （经验）直接用来进行另一个策略 $\pi$ （入门选手$\pi (a|s)$）的学习，那么就可能不合适。

从算法的角度说，在于 TD target $G_t$ 对于 $\mu$ 的评价是不准确的，我们需要对$G_t$进行修正。

改进的方法是使用重要性加权。

- MC 的重要性加权

朴素的想法：对于那些 $\pi$ 也能做出类似的 $(a|s)$ 动作，给予这些动作对应的轨迹的回报 $G_t$ 更大的权重，反之给予小的权重。
于是 MC 的重要性加权如下：
$$G_t^{\pi /\mu }=\frac{\pi (a_t|s_t)}{\mu (a_t|s_t)}\frac{\pi (a_{t+1}|s_{t+1})}{\mu (a_{t+1}|s_{t+1})}...\frac{\pi (a_T|s_T)}{\mu (a_T|s_T)}{G}_t$$

用加权之后的总折扣 $G_t^{\pi /\mu }$更新值函数
$$V_{\pi }(s)\leftarrow V_{\pi }(s)+\alpha (G_t^{\pi /\mu }-V_{\pi }(s))$$

问题在于：

1. 无法在 $\mu$ 为0时使用
2. 由于连续多个商相乘，显著增大方差。

改进：- TD 的重要性加权

TD 由于只用一步进行更新，所以相应的重要性采样只有一个商，可以降低方差。

$$V_{\pi }(s)\leftarrow V_{\pi }(s)+\alpha \left(\frac{\pi (a_t|s_t)}{\mu (a_t|s_t)}(r_{t+1}+\gamma V(S_{t+1}))-V_{\pi }(s)\right)$$

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TD 方法： SARSA

两个步骤：

1. $ϵ$-贪心（或者 Decaying $ϵ-$贪心，更加有效）地选择$A$,从而得到$S,A,R^{\prime },S^{\prime },A^{\prime }$五元组，
2. 利用五元组更新价值函数，TD target$=R+\gamma Q(S^{\prime },A^{\prime })$

$$Q(S,A)\leftarrow Q(S,A)+\alpha [R+\gamma Q(S^{\prime },A^{\prime })-Q(S,A)]$$

SARSA 是一种 On-policy （同轨策略）方法，因为用于计算 TD target 的值函数和用于动作选择的值函数是同一个。
特点：

1. 同轨策略
2. 运算量小，轻量化，在线
3. 偏保守，考虑了 $ϵ$ 的影响（悬崖例子）

TD 方法：Q-learning

和 SARSA 的唯一区别：
将给 TD target 加了一个 max，是用最大估计价值来更新值函数。
$$Q(S,A)\leftarrow Q(S,A)+\alpha [R+\gamma \underset{a}{\max }Q(S^{\prime },a)-Q(S,A)]$$

1. 异轨策略（Off-policy）
2. 运算量大，因为要比较每一个 $a$ 的价值
3. 偏激进，没有考虑 $ϵ$ 的影响（悬崖例子）
4. 有过估计的问题，由于 $\max$ 操作，会让估计值偏大，导致算法过于自信。

SARSA 改进： 期望 SARSA

由于 SARSA 每一次只用$S^{\prime },A^{\prime }$作为下一个状态的估计，会导致方差较大， 期望 SARSA 引入后继所有状态价值的期望，降低了方差。
$$Q(S,A)\leftarrow Q(S,A)+\alpha [R+\gamma \sum _a\pi (a|S^{\prime })Q(S^{\prime },a)-Q(S,A)]$$

期望 SARSA 既可以看作 SARSA 的期望版本，也可以看作将 Q-learning 的 max 改为 mean 的版本。

期望 Sarsa 在计算上比 Sarsa 更加复杂。但作为回报，它消除了因为随机选择产生的方差。 在相同数量的经验下，我们可能会预想它的表现能略好于 Sarsa, 期望 Sarsa也确实表现更好。

除了增加少许的计算量之。期望 Sarsa 应该完全优于这两种更知名的时序差分控制算法

最大化偏差与双学习

Q-learning 存在最大化偏差的问题，max 的操作会让算法过高估计值函数。
书中的例子：

走左边在期望意义上是更差的，但是由于左边的奖励是由 $\mathcal{N}(-0.1,1)$ 产生的，在刚开始的时候算法的 $Q(s,a)$ 大概率有正数，因此 max 之后会得到一个正数，这会驱使算法在刚开始的时候往左边走。当估计次数增多之后，左边各个状态都收敛到 -0.1 的均值奖励，从而 max Q 必然小于0，算法开始回头，往期望恒为 0 的右边走。

双 Q 学习

这里实际上是非深度版本的Double Q-learning，因为没有buffer，所以是$Q_1,Q_2$完全对等的地位，用交替更新的方法打破对称性。在实际选择动作的时候用$Q_1+Q_2$

在交替更新的时候，都用需要更新的那个 $Q$ 进行动作选择，然后另一个 $Q^{\prime }$ 进行动作估计
（类似于 Deep Double Q-learning ，快 $Q_{\theta }$ 用来选动作，慢$Q_{\theta -}$ 用来进行价值估计）