可视化二重积分
- 前言
- 正文
- 完整代码代码实现
- 可视化结果
前言
二重积分是指在二维空间中对函数进行积分。二重积分的公式如下：
∫
a
b
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
∫_a^b ∫_c^d f(x, y) dx dy
∫ab∫cdf(x,y)dxdy
其中，
a
a
a 和
b
b
b 是
x
x
x 的积分上限和下限，
c
c
c 和
d
d
d 是
y
y
y 的积分上限和下限，
f
(
x
,
y
)
f(x, y)
f(x,y) 是被积函数。
二重积分可以用来计算函数在二维区域上的面积、体积、重心等。
例如，要计算函数
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
f(x, y)=x^2+y^2
f(x,y)=x2+y2 在区间
[
0
，
1
]
∧
2
[0 ， 1]^{\wedge} 2
[0，1]∧2 上的面积，可以使用以下公式:
∫
0
1
∫
0
1
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
\int_0^1 \int_0^1\left(x^ 2+y^2\right) d x d y
∫01∫01(x2+y2)dxdy
计算结果为:
∫
0
1
∫
0
1
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
=
0.3333333333333333
\int_0^1 \int_0^1\left(x^ 2+y^2\right) d x d y=0.3333333333333333
∫01∫01(x2+y2)dxdy=0.3333333333333333
这意味着，函数 f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x, y)=x^2+y^2 f(x,y)=x2+y2 在区间 [ 0 , 1 ] 2 [0,1]^2 [0,1]2 上的面积为 0.3333333333333333 0.3333333333333333 0.3333333333333333 。
二重积分可以采用多种方法进行计算，常见的方法包括:
- 直接求积: 将二重积分公式展开进行求积。
- 变量替换：将被积函数进行变量替换，使其变得容易求积。
- 分部积分：将被积函数进行分部积分，将二重积分分解为多个一重积分。
- 高斯积分：使用高斯积分公式进行计算。
对于复杂的二重积分，可以采用数值积分的方法进行计算。
正文
针对以下这个二重积分：
∫
0
1
∫
0
1
(
x
2
+
y
2
)
e
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
∫_0^1 ∫_0^1 (x^2 + y^2) e^(x^2 + y^2) dx dy
∫01∫01(x2+y2)e(x2+y2)dxdy
这个积分函数是
(
x
2
+
y
2
)
e
(
x
2
+
y
2
)
(x^2 + y^2) e^{(x^2 + y^2)}
(x2+y2)e(x2+y2)，它是一个指数函数。指数函数在区间
[
0
,
1
]
2
[0, 1]^2
[0,1]2 上是单调递增的，因此这个积分是可积的。
这个积分可以用来计算函数 ( x 2 + y 2 ) e ( x 2 + y 2 ) (x^2 + y^2) e^{(x^2 + y^2)} (x2+y2)e(x2+y2)在区间 [ 0 , 1 ] 2 [0, 1]^2 [0,1]2 上的面积。
首先，我们需要计算积分函数的值。我们可以使用 MATLAB 的 integral() 函数来计算：
x = linspace(0, 1);
y = linspace(0, 1);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
Z = (X^2 + Y^2) * exp(X^2 + Y^2);
integral = integral2(Z, x, y);
上述这段代码将计算积分函数
(
x
2
+
y
2
)
e
(
x
2
+
y
2
)
(x^2 + y^2) e^{(x^2 + y^2)}
(x2+y2)e(x2+y2) 在区间
[
0
,
1
]
2
[0, 1]^2
[0,1]2 上的值，并将结果存储在变量 integral 中。
接下来，我们可以使用 MATLAB 的 contour() 函数来绘制积分函数的等高线图：
x = linspace(0, 1);
y = linspace(0, 1);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
Z = (X^2 + Y^2) * exp(X^2 + Y^2);
contour(X, Y, Z);
这段代码将绘制一个等高线图，该图表示积分函数 ( x 2 + y 2 ) e ( x 2 + y 2 ) (x^2 + y^2) e^{(x^2 + y^2)} (x2+y2)e(x2+y2) 在区间 [ 0 , 1 ] 2 [0, 1]^2 [0,1]2 上的等高线。
生成的等高线图如下所示：
从等高线图中可以看到，积分函数 ( x 2 + y 2 ) e ( x 2 + y 2 ) (x^2 + y^2) e^{(x^2 + y^2)} (x2+y2)e(x2+y2) 在区间 [ 0 , 1 ] 2 [0, 1]^2 [0,1]2 上是一个单调递增的函数。
我们还可以使用 MATLAB 的 surf() 函数来绘制积分函数的三维曲面图：
x = linspace(0, 1);
y = linspace(0, 1);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
Z = (X^2 + Y^2) * exp(X^2 + Y^2);
surf(X, Y, Z);
完整代码代码实现
% 定义被积函数
f = @(x, y) (x.^2 + y.^2) .* exp(x.^2 + y.^2);
% 计算二重积分
result = integral2(f, 0, 1, 0, 1);
% 显示结果
disp(['Result of the double integral: ', num2str(result)]);
% 生成网格点
[x, y] = meshgrid(0:0.01:1, 0:0.01:1);
% 计算被积函数在网格点上的值
z = f(x, y);
% 可视化
figure;
surf(x, y, z);
title('Visualization of \int_0^1 \int_0^1 (x^2 + y^2) e^{x^2 + y^2} dx dy');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('f(x, y)');
可视化结果
可视化结果如下：
