数据结构之---- 图

什么是图？

图是一种非线性数据结构，由顶点和边组成。我们可以将图 𝐺 抽象地表示为一组顶点 𝑉 和一组边 𝐸 的集合。

以下示例展示了一个包含 5 个顶点和 7 条边的图。

如果将顶点看作节点，将边看作连接各个节点的引用（指针），我们就可以将图看作是一种从链表拓展而来的数据结构。

如图所示，相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，从而更为复杂。

图常见类型与术语

根据边是否具有方向，可分为图所示的无向图和有向图。

• 在无向图中，边表示两顶点之间的“双向”连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”。
• 在有向图中，边具有方向性，即 𝐴 → 𝐵 和 𝐴 ← 𝐵 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系。
  

根据所有顶点是否连通，可分为图所示的连通图和非连通图。

• 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点。
• 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达。
  

我们还可以为边添加 权重 变量，从而得到图所示的有权图。

例如在王者荣耀等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的 亲密度 ，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。

图数据结构包含以下常用术语：

• 邻接：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点邻接。在上图中，顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。
• 路径：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的路径。在上图 中，边序列 1‑5‑2‑4 是顶点 1 到顶点 4 的一条路径。
• 度：一个顶点拥有的边数。对于有向图，入度表示有多少条边指向该顶点，出度 表示有多少条边从该顶点指出。

图的表示

图的常用表示方式包括“邻接矩阵”和“邻接表”。以下使用无向图进行举例。

1. 邻接矩阵

设图的顶点数量为 𝑛 ，邻接矩阵使用一个 𝑛 × 𝑛 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 1 或 0 表示两个顶点之间是否存在边。

如图所示，设邻接矩阵为 𝑀、顶点列表为 𝑉 ，那么矩阵元素 𝑀[𝑖, 𝑗] = 1 表示顶点 𝑉 [𝑖] 到顶点 𝑉 [𝑗]之间存在边，反之 𝑀[𝑖, 𝑗] = 0 表示两顶点之间无边。

邻接矩阵具有以下特性：

• 顶点不能与自身相连，因此邻接矩阵主对角线元素没有意义。
• 对于无向图，两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。
• 将邻接矩阵的元素从 1 和 0 替换为权重，则可表示有权图。

使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为 𝑂(1) 。
然而，矩阵的空间复杂度为 𝑂(𝑛²) ，内存占用较多。

2. 邻接表

邻接表 使用 𝑛 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 𝑖 条链表对应顶点 𝑖 ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。

下图展示了一个使用邻接表存储的图的示例：

邻接表仅存储实际存在的边，而边的总数通常远小于 𝑛² ，因此它更加节省空间。
然而，在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，因此其时间效率不如邻接矩阵。

观察上图 ，邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似，因此我们也可以采用类似方法来优化效率。

比如当链表较长时，
可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 𝑂(𝑛) 优化至 𝑂(log 𝑛) ；
还可以把链表转换为哈希表，从而将时间复杂度降低至 𝑂(1) 。

图常见应用

如表所示，许多现实系统都可以用图来建模，相应的问题也可以约化为图计算问题。

图基础操作

图的基础操作可分为对“边”的操作和对“顶点”的操作。在“邻接矩阵”和“邻接表”两种表示方法下，实现方式有所不同。

基于邻接矩阵的实现

给定一个顶点数量为 𝑛 的无向图，则各种操作的实现方式如图所示:

• 添加或删除边：直接在邻接矩阵中修改指定的边即可，使用 𝑂(1) 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
• 添加顶点：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 0 即可，使用 𝑂(𝑛) 时间。
• 删除顶点：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 (𝑛 − 1)² 个元素“向左上移动”，从而使用 𝑂(𝑛²) 时间。
• 初始化：传入 𝑛 个顶点，初始化长度为 𝑛 的顶点列表 vertices ，使用 𝑂(𝑛) 时间；初始化 𝑛 × 𝑛 大小的邻接矩阵 adjMat ，使用 𝑂(𝑛²) 时间。
  
  
  
  
  
  以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码:

/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
class GraphAdjMat {
	List<Integer> vertices; // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
	List<List<Integer>> adjMat; // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”

	/* 构造方法 */
	public GraphAdjMat(int[] vertices, int[][] edges) {
		this.vertices = new ArrayList<>();
		this.adjMat = new ArrayList<>();
		// 添加顶点
		for (int val : vertices) {
			addVertex(val);
		}
		// 添加边
		// 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
		for (int[] e : edges) {
			addEdge(e[0], e[1]);
		}
	}

	/* 获取顶点数量 */
	public int size() {
		return vertices.size();
	}

	/* 添加顶点 */
	public void addVertex(int val) {
		int n = size();
		// 向顶点列表中添加新顶点的值
		vertices.add(val);
		// 在邻接矩阵中添加一行
		List<Integer> newRow = new ArrayList<>(n);
		for (int j = 0; j < n; j++) {
			newRow.add(0);
		}
		adjMat.add(newRow);
		// 在邻接矩阵中添加一列
		for (List<Integer> row : adjMat) {
			row.add(0);
		}
	}

	/* 删除顶点 */
	public void removeVertex(int index) {
		if (index >= size())
			throw new IndexOutOfBoundsException();
		// 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
		vertices.remove(index);
		// 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
		adjMat.remove(index);
		// 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
		for (List<Integer> row : adjMat) {
			row.remove(index);
		}
	}

	/* 添加边 */
	// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
	public void addEdge(int i, int j) {
		// 索引越界与相等处理
		if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)
			throw new IndexOutOfBoundsException();
		// 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
		adjMat.get(i).set(j, 1);
		adjMat.get(j).set(i, 1);
	}

	/* 删除边 */
	// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
	public void removeEdge(int i, int j) {
		// 索引越界与相等处理
		if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)
			throw new IndexOutOfBoundsException();
		adjMat.get(i).set(j, 0);
		adjMat.get(j).set(i, 0);
	}

	/* 打印邻接矩阵 */
	public void print() {
		System.out.print(" 顶点列表 = ");
		System.out.println(vertices);
		System.out.println(" 邻接矩阵 =");
		PrintUtil.printMatrix(adjMat);
	}
}

基于邻接表的实现

设无向图的顶点总数为 𝑛、边总数为 𝑚 ，则可根据下图所示的方法实现各种操作：

• 添加边：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 𝑂(1) 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
• 删除边：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 𝑂(𝑚) 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。
• 添加顶点：在邻接表中添加一个链表，并将新增顶点作为链表头节点，使用 𝑂(1) 时间。
• 删除顶点：需遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 𝑂(𝑛 + 𝑚) 时间。
• 初始化：在邻接表中创建 𝑛 个顶点和 2𝑚 条边，使用 𝑂(𝑛 + 𝑚) 时间。

以下是邻接表的代码实现。对比上图，实际代码有以下不同：

• 为了方便添加与删除顶点，以及简化代码，我们使用列表（动态数组）来代替链表。
• 使用哈希表来存储邻接表，key 为顶点实例，value 为该顶点的邻接顶点列表（链表）。

另外，我们在邻接表中使用 Vertex 类来表示顶点，这样做的原因是：
如果与邻接矩阵一样，用列表索引来区分不同顶点，那么假设要删除索引为 𝑖 的顶点，则需遍历整个邻接表，将所有大于 𝑖 的索引全部减 1 ，效率很低。
而如果每个顶点都是唯一的 Vertex 实例，删除某一顶点之后就无须改动其他顶点了。

/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
	// 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
	Map<Vertex, List<Vertex>> adjList;

	/* 构造方法 */
	public GraphAdjList(Vertex[][] edges) {
		this.adjList = new HashMap<>();
		// 添加所有顶点和边
		for (Vertex[] edge : edges) {
			addVertex(edge[0]);
			addVertex(edge[1]);
			addEdge(edge[0], edge[1]);
		}
	}

	/* 获取顶点数量 */
	public int size() {
		return adjList.size();
	}

	/* 添加边 */
	public void addEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) {
		if (!adjList.containsKey(vet1) || !adjList.containsKey(vet2) || vet1 == vet2)
			throw new IllegalArgumentException();
		// 添加边 vet1 - vet2
		adjList.get(vet1).add(vet2);
		adjList.get(vet2).add(vet1);
	}

	/* 删除边 */
	public void removeEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) {
		if (!adjList.containsKey(vet1) || !adjList.containsKey(vet2) || vet1 == vet2)
			throw new IllegalArgumentException();
		// 删除边 vet1 - vet2
		adjList.get(vet1).remove(vet2);
		adjList.get(vet2).remove(vet1);
	}

	/* 添加顶点 */
	public void addVertex(Vertex vet) {
		if (adjList.containsKey(vet))
			return;
		// 在邻接表中添加一个新链表
		adjList.put(vet, new ArrayList<>());
	}

	/* 删除顶点 */
	public void removeVertex(Vertex vet) {
		if (!adjList.containsKey(vet))
			throw new IllegalArgumentException();
		// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
		adjList.remove(vet);
		// 遍历其他顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
		for (List<Vertex> list : adjList.values()) {
			list.remove(vet);
		}
	}

	/* 打印邻接表 */
	public void print() {
		System.out.println(" 邻接表 =");
		for (Map.Entry<Vertex, List<Vertex>> pair : adjList.entrySet()) {
			List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
			for (Vertex vertex : pair.getValue())
				tmp.add(vertex.val);
				System.out.println(pair.getKey().val + ": " + tmp + ",");
			}
	}
}

效率对比

设图中共有 𝑛 个顶点和 𝑚 条边，下表对比了邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率。

观察上表得 ，似乎邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。
但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。
综合来看，邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。

图的遍历

树代表的是 一对多 的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的 多对多 关系。因此，我们可以把树看作是图的一种特例。显然，树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例。
图和树都需要应用搜索算法来实现遍历操作。图的遍历方式可分为两种：广度优先遍历和深度优先遍历。
它们也常被称为广度优先搜索和深度优先搜索，简称 BFS 和 DFS 。

广度优先遍历

广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张。
如图所示，从左上角顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。

1. 算法实现

BFS 通常借助队列来实现。队列具有 先入先出 的性质，这与 BFS 的 由近及远 的思想异曲同工。

1. 将遍历起始顶点 startVet 加入队列，并开启循环。
2. 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部。
3. 循环步骤 2. ，直到所有顶点被访问完成后结束。

为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 visited 来记录哪些节点已被访问。

/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
	// 顶点遍历序列
	List<Vertex> res = new ArrayList<>();
	// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
	Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
	visited.add(startVet);
	// 队列用于实现 BFS
	Queue<Vertex> que = new LinkedList<>();
	que.offer(startVet);
	// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
	while (!que.isEmpty()) {
		Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队
		res.add(vet); // 记录访问顶点
		// 遍历该顶点的所有邻接顶点
		for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
			if (visited.contains(adjVet))
				continue; // 跳过已被访问过的顶点
			que.offer(adjVet); // 只入队未访问的顶点
			visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
		}
	}
	// 返回顶点遍历序列
	return res;
}

代码相对抽象，建议对照下图来加深理解。

广度优先遍历的序列是否唯一？
不唯一。广度优先遍历只要求按 由近及远 的顺序遍历，而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的。
以上图为例，顶点 1、3 的访问顺序可以交换、顶点 2、4、6 的访问顺序也可以任意交换。

2. 复杂度分析

时间复杂度：所有顶点都会入队并出队一次，使用 𝑂(|𝑉 |) 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 2 次，使用 𝑂(2|𝐸|) 时间；总体使用 𝑂(|𝑉 | + |𝐸|) 时间。

空间复杂度：列表 res ，哈希表 visited ，队列 que 中的顶点数量最多为 |𝑉 | ，使用 𝑂(|𝑉 |) 空间。

深度优先遍历

深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式。

如图所示，从左上角顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。

1. 算法实现

这种 走到尽头再返回 的算法范式通常基于递归来实现。
与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中我们也需要借助一个哈希表 visited 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。

/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList graph, Set<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
	res.add(vet); // 记录访问顶点
	visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
	// 遍历该顶点的所有邻接顶点
	for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
		if (visited.contains(adjVet))
			continue; // 跳过已被访问过的顶点
		// 递归访问邻接顶点
		dfs(graph, visited, res, adjVet);
	}
}

/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
	// 顶点遍历序列
	List<Vertex> res = new ArrayList<>();
	// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
	Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
	dfs(graph, visited, res, startVet);
	return res;
}

深度优先遍历的算法流程如图所示：

• 直虚线代表向下递推，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。
• 曲虚线代表向上回溯，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置。

为了加深理解，建议将图示与代码结合起来，在脑中（或者用笔画下来）模拟整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。

深度优先遍历的序列是否唯一？
与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。

给定某顶点，先往哪个方向探索都可以，即邻接顶点的顺序可以任意打乱，都是深度优先遍历。
以树的遍历为例， 根 → 左 → 右 、 左 → 根 → 右 、 左 → 右 → 根 分别对应前序、中序、后序遍历，它们展示了三种不同的遍历优先级，然而这三者都属于深度优先遍历。

2. 复杂度分析

时间复杂度：所有顶点都会被访问 1 次，使用 𝑂(|𝑉 |) 时间；所有边都会被访问 2 次，使用 𝑂(2|𝐸|) 时间；总体使用 𝑂(|𝑉 | + |𝐸|) 时间。

空间复杂度：列表 res ，哈希表 visited 顶点数量最多为 |𝑉 | ，递归深度最大为 |𝑉 | ，因此使用 𝑂(|𝑉 |) 空间。

总结

• 图由顶点和边组成，可以被表示为一组顶点和一组边构成的集合。
• 相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）具有更高的自由度，因而更为复杂。
• 有向图的边具有方向性，连通图中的任意顶点均可达，有权图的每条边都包含权重变量。
• 邻接矩阵利用矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 1 或 0 表示两个顶点之间有边或无边。邻接矩阵在增删查操作上效率很高，但空间占用较多。
• 邻接表使用多个链表来表示图，第 𝑖 条链表对应顶点 𝑖 ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点。邻接表相对于邻接矩阵更加节省空间，但由于需要遍历链表来查找边，时间效率较低。
• 当邻接表中的链表过长时，可以将其转换为红黑树或哈希表，从而提升查询效率。
• 从算法思想角度分析，邻接矩阵体现“以空间换时间”，邻接表体现“以时间换空间”。
• 图可用于建模各类现实系统，如社交网络、地铁线路等。
• 树是图的一种特例，树的遍历也是图的遍历的一种特例。
• 图的广度优先遍历是一种由近及远、层层扩张的搜索方式，通常借助队列实现。
• 图的深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走时再回溯的搜索方式，常基于递归来实现。

Q & A

路径的定义是顶点序列还是边序列？

维基百科上不同语言版本的定义不一致：
英文版是路径是一个边序列，而中文版是路径是一个顶点序列。

以下是英文版原文：
In graph theory, a path in a graph is a finite or infinite sequence of edges which joins a sequence of vertices.
在本文中，路径被认为是一个边序列，而不是一个顶点序列。这是因为两个顶点之间可能存在多条边连接，此时每条边都对应一条路径。

非连通图中，是否会有无法遍历到的点？

在非连通图中，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达。遍历非连通图需要设置多个起点，以遍历到图的所有连通分量。

在邻接表中，“与该顶点相连的所有顶点”的顶点顺序是否有要求？

可以是任意顺序。
但在实际应用中，可能会需要按照指定规则来排序，比如按照顶点添加的次序、或者按照顶点值大小的顺序等等，这样可以有助于快速查找 带有某种极值的顶点。