前言

本篇文章讲述数、、二叉树、堆的基本概念和知识，以及堆的代码实现。

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1.树概念及结构

1.1 树的定义

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

①有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
②除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <=m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
③因此，树是递归定义的。

1.2 树的基本概念

①节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
如上图：A的为6
②叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；
如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
③非终端节点或分支节点：度不为0的节点；
如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
④双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
如上图：A是B的父节点
⑤孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
如上图：B是A的孩子节点
⑥兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
如上图：B、C是兄弟节点 (这里必须是亲兄弟，也就是说只有A下面的第一层是)
⑦树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
如上图：树的度为6
⑧节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
⑨树的高度或深度：树中节点的最大层次；
如上图：树的高度为4
⑩堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；
如上图：H、I互为兄弟节点
⑪节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
如上图：A是所有节点的祖先
⑫子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
如上图：所有节点都是A的子孙
⑬森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.3 如何区分树？

树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

图中①②③就不是树，④是树。

1.4 二叉树

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
   从上图可以看出：
3. 二叉树不存在度大于2的结点
4. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

1.5 二叉树的分类

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。(每一层都是满的)
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。(前h-1层是满的，最后一层不满，但是从左到右必须连续)
   

满二叉树的节点数为：

完全二叉树的节点个数：

1.6 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储
   顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
   
   搜索二叉树：
   

2.堆

2.1 堆的基本概念

如果有一个关键码的集合K = { ， ， ，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中，并满足： <= 且<= ( >= 且 >= ) i =0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的性质：
①堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值； ②堆总是一棵完全二叉树。

我们这里的堆和C语言中学到的堆不一样：

2.2 堆的代码实现

2.2.1 堆的初始化

void HeapInit(HP* php)
{
	assert(php);

	php->a = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
}

2.2.2 堆的销毁

void HeapDestroy(HP* php)
{
	assert(php);

	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

2.2.3 堆的向上调整及数据插入

向上调整：

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	//while (parent >= 0)
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] < a[parent])  //改成>变成大堆
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
			//child = (child - 1) / 2;
			//parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

数据插入：

void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newCapacity * sizeof(HPDataType));
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			exit(-1);
		}

		php->a = tmp;
		php->capacity = newCapacity;
	}

	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

2.2.4 堆的数据删除(规定删除堆顶根节点)及向下调整

向下调整：

void AdjustDown(int* a, int size, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;

	while (child < size)
	{
		// 假设左孩子小，如果假设错了，更新一下

		if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child]) //改成>变成大堆
		{
			++child;
		}

		if (a[child] < a[parent])//改成>变成大堆
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

数据删除：

void HeapPop(HP* php)// 规定删除堆顶（根节点）
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

2.2.5 堆的获取顶部元素

HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	return php->a[0];
}

2.2.6 堆的获取size大小

size_t HeapSize(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size;
}

2.2.7 堆的判断是否为空

bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size == 0;
}

堆的完整代码见gitee：
链接: 堆的完整代码