代码随想录算法训练营第45天| 70. 爬楼梯（进阶） 322. 零钱兑换 279.完全平方数

JAVA代码编写

70. 爬楼梯（进阶版)

卡码网：57. 爬楼梯（第八期模拟笔试）

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

输入描述

输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m

输出描述

输出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。

输入示例

3 2

输出示例

提示信息

数据范围：
1 <= m < n <= 32;
当 m = 2，n = 3 时，n = 3 这表示一共有三个台阶，m = 2 代表你每次可以爬一个台阶或者两个台阶。
此时你有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶段
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

教程：https://programmercarl.com/0070.%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%89%88%E6%9C%AC.html#%E6%80%9D%E8%B7%AF

方法一：动态规划

思路：和70. 爬楼梯很像，基础的是每次只能走1个或2个台阶，现在改成能走1-m中任意一个台阶。问有多少种方法走完n阶楼梯。

步骤

定义dp数组：dp[j]：爬到第j层楼梯，有dp[j]种方法
递推公式：dp[j] = dp[j - 1] + dp[j - 2] + … +dp[j - m]
- dp[j - 1]，上j-1层楼梯，有dp[j - 1]种方法，那么再1步跳一个台阶不就是dp[j]了么。
- dp[j - 2]，上j-2层楼梯，有dp[j - 2]种方法，那么再2步跳两个台阶不就是dp[j]了么。
- …
- dp[j - m]，上j-m层楼梯，有dp[j - m]种方法，那么再m步跳两个台阶不就是dp[j]了么。
  可以这样理解。因为每次只能走1个楼梯或2个楼梯…或m个楼梯，那么我们要走j个楼梯，可以从第j-m个楼梯，再走m个楼梯;…;也可以从第j-1个楼梯，再走1个楼梯。所以dp[j] = dp[j - 1] + dp[j - 2] + … +dp[j - m]
dp数组初始化：dp[1]=1,dp[2]=2
确定遍历顺序:遍历n，再遍历m
举例推导dp数组n=4,m=2

在这里插入图片描述

简单来说，dp[j]等于前m个dp的和，这里的dp[4]=dp[3]+dp[2]，刚好是2个的和。

复杂度分析：

时间复杂度：O(n * m)
空间复杂度：O(n)

import java.util.Scanner;

class Solution{
    public static void main(String [] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int m, n;
        while (sc.hasNextInt()) {
            // 从键盘输入参数，中间用空格隔开
            n = sc.nextInt();
            m = sc.nextInt();

            // 求排列问题，先遍历背包再遍历物品
            int[] dp = new int[n + 1];
            dp[0] = 1;
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                for (int i = 1; i <= m; i++) {
                    if (j - i >= 0) dp[j] += dp[j - i];
                }
            }
            System.out.println(dp[n]);
        }
    }
}

322. 零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3 
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

提示：

1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 231 - 1
0 <= amount <= 104

教程：https://programmercarl.com/0322.%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2.html

方法一：动态规划

思路：五步曲

步骤

定义dp [j]：凑成和为amount的最少硬币个数为dp[j]。
递推公式：

凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）

所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
dp数组初始化：dp[0] =0，考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
确定遍历顺序:

本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。

所以本题并不强调集合是组合还是排列。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
举例推导dp数组，

以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例

在这里插入图片描述

复杂度分析：

时间复杂度：O(n * amount)，n 为coins长度
空间复杂度：O(amount)

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[amount + 1];
        //初始化dp数组为最大值
        for (int j = 0; j < dp.length; j++) {
            dp[j] = max;
        }
        //当金额为0时需要的硬币数目为0
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
            //正序遍历：完全背包每个硬币可以选择多次
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                //只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
                if (dp[j - coins[i]] != max) {
                    //选择硬币数目最小的情况
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
    }

    public static void main(String[] args) {
        Solution solution = new Solution();
        solution.coinChange(new int[] {1,2,5},5);
    }
}

从贪心的角度看，每次放最大的硬币，一直放，直到amount剩下为amount%最大硬币值，接着放次大或能直接整除的硬币。

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        if (amount == 0) return 0;
        if (coins.length == 1 && amount % coins[0] != 0) return -1;
        int count = 0;
        Arrays.sort(coins);
        for (int i = coins.length - 1; i >= 0; i--) {
            count += amount / coins[i];
            amount = amount % coins[i];
            if (amount == 0) {
                return count;
            }
        }
        return -1;
    }
}

但是这个代码不能通过，贪心不能通过局部最优获取全局最优。

279. 完全平方数

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入：n = 12
输出：3 
解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

提示：

1 <= n <= 104

教程：https://programmercarl.com/0279.%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0.html#_279-%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0

方法一：动态规划

思路：完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？

完全背包

步骤

定义dp [j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]。
递推公式：

dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。

此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
dp数组初始化：dp[0] =0，dp[j]赋最大值
确定遍历顺序:

两者都可：

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
举例推导dp数组，

已输入n为5例，dp状态图如下：

279.完全平方数

复杂度分析：

时间复杂度：O(n*sqrt(n))
空间复杂度：O(n)

class Solution {
    // 版本一，先遍历物品, 再遍历背包
    public int numSquares(int n) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[n + 1];
        //初始化
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            dp[j] = max;
        }
	//如果不想要寫for-loop填充數組的話，也可以用JAVA內建的Arrays.fill()函數。
	//Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
	
        //当和为0时，组合的个数为0
        dp[0] = 0;
        // 遍历物品
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
            // 遍历背包
            for (int j = i * i; j <= n; j++) {
                //if (dp[j - i * i] != max) {
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
                //}
		//不需要這個if statement，因爲在完全平方數這一題不會有"湊不成"的狀況發生（ 一定可以用"1"來組成任何一個n），故comment掉這個if statement。
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

class Solution {
    // 版本二， 先遍历背包, 再遍历物品
    public int numSquares(int n) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 初始化
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            dp[j] = max;
        }
        // 当和为0时，组合的个数为0
        dp[0] = 0;
        // 遍历背包
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            // 遍历物品
            for (int i = 1; i * i <= j; i++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}