Leetcode2008. 出租车的最大盈利

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题目来源：2008. 出租车的最大盈利

解法1：排序 + 二分查找 + 动态规划

将数组 rides 按照 end_i 从小到大进行排序，记 m 为 rides 的大小，dp₁ 表示只接区间 [0,i] 内的乘客的最大盈利，显然 dp₀ = 0，而对于 i∈[0,m]，有两种情况：

对第 i 位乘客接单：由于前面已经对数组 rides 排序，因此我们可以通过二分查找来找到满足 end_j ≤ start_i 最大的 j，那么，设 earning_i-1 = rides[i - 1][1] - rides[i - 1][0] + rides[i - 1][2]，有 dp[i] = max(dp[i - 1], dp[j] + earning)。
不对第 i 位乘客接单：dp[i] = dp[i-1]。

于是，我们得到了状态转移方程：dp[i] = max(dp[i - 1], dp[j] + earning)。

代码：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=2008 lang=cpp
 *
 * [2008] 出租车的最大盈利
 */

// @lc code=start
class Solution
{
private:
    // 对数组 rides 按 end 从小到大排序
    static bool cmp(const vector<int> &ride1, const vector<int> &ride2)
    {
        return ride1[1] < ride2[1];
    }

public:
    long long maxTaxiEarnings(int n, vector<vector<int>> &rides)
    {
        // 特判
        if (n == 0 || rides.empty())
            return 0;
        sort(rides.begin(), rides.end(), cmp);
        int m = rides.size();
        // dp[i]: 接区间 [0, i] 内的乘客的最大盈利
        vector<long long> dp(m + 1, 0);
        // 初始化
        dp[0] = 0;
        // 状态转移
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            int j = upper_bound(rides.begin(), rides.begin() + i - 1, rides[i - 1][0], [](int x, const vector<int> &r) -> bool
                                { return x < r[1]; }) -
                    rides.begin();
            int earning = rides[i - 1][1] - rides[i - 1][0] + rides[i - 1][2];
            dp[i] = max(dp[i - 1], dp[j] + earning);
        }
        return dp[m];
    }
};
// @lc code=end

结果：

在这里插入图片描述

复杂度分析：

时间复杂度：O(mlogm)，其中 m 是数组 rides 的长度。一次二分查找需要 O(log⁡m) 的时间，共进行 m 次二分查找，总计的时间复杂度为 O(mlogm)。

空间复杂度：O(m)，其中 m 是数组 rides 的长度。

解法2：动态规划 + 哈希表

使用哈希表 rideMap[end] 记录终点为 end 的所有乘客信息。不同于解法 1，我们使用 dp[i] 表示到达第 i 个地点时，能获取的最大盈利，显然有 dp[0] = 0，而对于 i∈[1,n]，有两种情况：

选择一个终点为第 i 个地点的乘客 j：设这次盈利 earning = end_j - start_j + tip_j，那么最大盈利为 dp[i] = dp[start_j] + earning。
没有乘客在第 i 个地点下车：dp[i] = dp[i-1]。

于是，我们得到了状态转移方程：dp[i] = max(dp[i - 1], max(dp[start_j] + end_j - start_j + tip_j)。

注意，因为 unordered_map 内部是由哈希表实现的，哈希表中的每一项为一个桶，分别装着键和值，原 STL 中不包含 pair<int,int> 类型的键，不能够直接使用嵌套到哈希表中，所以需要自定义哈希值与判断相等函数。

代码：

// 哈希表 + 动态规划

class Solution
{
public:
    long long maxTaxiEarnings(int n, vector<vector<int>> &rides)
    {
        // 特判
        if (n == 0 || rides.empty())
            return 0;
        unordered_map<int, vector<vector<int>>> rideMap; //<end, {start, tip}>
        for (const vector<int> &ride : rides)
        {
            int start = ride[0], end = ride[1], tip = ride[2];
            rideMap[end].push_back({start, tip});
        }
        // dp[i]: 到达第 i 个地点时能获取的最大盈利
        vector<long long> dp(n + 1, 0);
        // 初始化
        dp[0] = 0;
        // 状态转移
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            dp[i] = max(dp[i], dp[i - 1]);
            for (vector<int> &ride : rideMap[i])
            {
                int start = ride[0], end = i, tip = ride[1];
                int earning = end - start + ride[1];
                dp[i] = max(dp[i], dp[start] + earning);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};