一、新单元：图

• Quiz 1包含lecture01到lecture08，关注数据结构和排序

• 今天开始新单元，lecture09-lecture14，关注图算法

二、图应用

• 图无处不在

• 任何网络系统都存在有向连接图

• 比如：路网、计算机网络、社交网络

• 任何离散系统的状态空间都可以用过渡图表示

• 比如：puzzle & games like Chess, Tetris, Rubik’s cube

• 比如：应用流，声明

三、图定义

• 图$G=(V,E)$是一组点V和一组顶点的对$E\subseteq V\times V$

• 有向边是有序对，比如，$(u,v)，u,v\in V$

• 无向边是无序对，比如， { u , v } ， u , v ∈ V \{u,v\}，u,v\in V {u,v}，u,v∈V，比如：$(u,v)和(v,u)$

• 在这个类中，我们假设所有图是简单的：

  • 边是去重的，比如(u,v)仅在E（尽管(v,u)可能出现）中出现一次，并且

  • 边是非重复点的组合，比如：$u\ne v，(u,v)\in E$

  • 简单暗示着：$|E|=\mathcal{O}(|V{|}^2)$，因为无向：$|E|=\mathcal{O}(|V{|}^2)$，有向：$|E|=\mathcal{O}(2|V{|}^2)$

四、相邻集合

• u ∈ V ， u 的出向相邻： A d j + ( u ) = { v ∈ V ∣ ( u , v ) ∈ E } u\in V，u的出向相邻：Adj^+(u)=\{v\in V|(u,v)\in E\} u∈V，u的出向相邻：Adj+(u)={v∈V∣(u,v)∈E}

• $u\in V，u的入向相邻：Ad{j}^{-}(u)=v\in V|(u,v)\in E$

• 顶点u的出度，$u\in V，de{g}^{+}(u)=|Ad{j}^{+}(u)|$

• 顶点u的出度，$u\in V，de{g}^{-}(u)=|Ad{j}^{-}(u)|$

• 对于无向图，$Ad{j}^{-}(u)=Ad{j}^{+}(u)，de{g}^{-}(u)=de{g}^{+}(u)$

• 删除上标默认是出向，比如，$Adj(u)=Ad{j}^{+}(u)，deg(u)=de{g}^{+}(u)$

五、图的表达

• 为了存储图$G=(V,E)$，我们需要存储外向边$Adj(u)，u\in V$

• 首先，需要一个集合数据结构$Adj$来映射u到$Adj(u)$

• 然后对于每个u，需要存储$Adj(u)$到其他数据结构——邻接表

• 通常对Adj使用直接访问数组或哈希表，因为想通过顶点快速查找

• 通常对每个Adj(u)使用数组或链表，因为通常只需要迭代

• 通用表达：$Adj尺寸为\Theta (|V|)，每个Adj(u)尺寸为\Theta (deg(u))$

• 因为由handshaking lemma得知${\sum }_{u\in V}deg(u)\le 2|E|$，图存储空间为$\Theta (|V|+|E|)$

• 因此，对于图算法，线性时间意味着$\Theta (|V|+|E|)$，与图尺寸呈线性

六、举例

• 例1和例2假设顶点标记为 { 0 , 1 , . . . , ∣ V ∣ − 1 } \{0,1,...,|V|-1\} {0,1,...,∣V∣−1}，因此可以对Adj使用直接访问数组，存储Adj(u)到数组。例3对Adj使用哈希表。

• 注意在无向图中，连接是对称的，因为每个边算作两次出向

七、路径

• 路径是点的序列$p=(v_1,v_2,...,v_k)，(v_i,v_{i+1})\in E，1\le i<k$

• 如果没有重复点，路径是简单的

• 长度$l(p)$是路径p中边的个数

• 距离$\delta (u,v),从u\in V到v\in V$，表示u到v之间所有路径长度的最小值，比如：从u到v之间最短路径的长度，（按照惯例，$\delta (u,v)=\infty$，如果u与v不相连）

八、图路径问题

• 有许多你可能想解决的，与图路径有关的问题

• SINGLE_PAIR_REACHABILITY(G, s, t)：G中是否存在路径，从$s\in V到t\in V$

• SINGLE_PAIR_SHORTEST_PATH(G, s, t)：返回距离$\delta (s,t)$，以及$G=(V,E)$中从$s\in V到t\in V$最短路径

• SINGLE_PAIR_SHORTEST_PATHS(G,s)：返回$\delta (s,v)，v\in V$，以及一个最短路径树（包含从s到每个$v\in V$的最短路径）

• 上面的每个问题都至少和上面的每个问题一样难，解决完一个低级问题，可以把它当作黑盒来解决任意更高级的问题

• 不会展示算法来解决所有这些问题

• 而是，展示一个算法，耗时$\mathcal{O}(|V|+|E|)$来解决最难的

九、最短路径树

• 对于图中每个顶点，如何从源点s返回一条最短路径？

• 一些路径有长度$\Omega (|V|)$，因此返回每条路需要$\Omega (|V{|}^2)$

• 对于所有$v\in V$，存储它的parent $P(v)$，从s出发最短路径上第二个到最后一个点

• 让P(s)为null（从s到s，最短路径上没有第二个到最后一个点）

• parent集合构成了最短路径树，尺寸为$\mathcal{O}(|V|)$

  （例如，从每个点（s点可达）来返回到s的反向最短路径）

十、广度优先查找（BFS）

• 如何计算$\delta (s,v)$和$P(v)$，$v\in V$？

• 存储$\delta (s,v)$和$P(v)$到集合数据结构，对应点v距离和parent

• 如果没有路径从s都v，不会存储v到P中，并设$\delta (s,v)=\infty$

• 按距离升序探索图中点

• 目标：计算层级集合 L i = { v ∣ v ∈ V 且 d ( s , v ) = i } L_i=\{v|v\in V且d(s,v)=i\} Li​={v∣v∈V且d(s,v)=i}，所有点位于距离i

• 声明：每个点$v\in L_i$，必须与点$u\in L_{i-1}$相邻（比如，$v\in Adj(u)$）

• 声明：在$L_j$（j<i）中的点，不会出现在$L_i$

• 不变性：对于$L_j$中所有点，$\delta (s,v)$和$P(v)$已经正确计算过了

• 基本情形（i=1）： L 0 = { s } , δ ( s , s ) = 0 , P ( s ) = N o n e L_0=\{s\},\delta(s,s)=0,P(s)=None L0​={s},δ(s,s)=0,P(s)=None

• 推断步骤：计算$L_i$：

  -$L_{i-1}$中每个顶点u

  -每个顶点$v\in Adj(u)$（v没有出现在$L_j$中，j<i）

  -添加v到$L_i$，设置$\delta (s,v)=i，P(v)=u$

• 重复地计算$L_j$到$L_i$（j<i），提升i直到$L_i$是空集

• 对于$v\in V$，$\delta (s,v)$没有被设置的点，$\delta (s,v)=\infty$

• 通过推断，广度优先查找正确地计算所有$\delta (s,v)$和$P(v)$

• 运行时间分析：

  • 存储每个$L_i$到数据结构中，需要$\Theta (|L_i|)$迭代，$\mathcal{O}(1)$插入（比如动态数组和链表）

  • 通过检查v是否在P中，来检查点v在不在$L_j,j<i$

  • 维护$\delta$和$P$在集合数据结构中，支持字典操作耗时$\mathcal{O}(1)$（直接访问数组或哈希表）

  • 算法添加每个顶点u到level中，对每个$v\in Adj(u)$花费$\mathcal{O}(1)$

  • 由handshake lemma得知，工作上边界：$\mathcal{O}(1)\times {\sum }_{u\in V}deg(u)=\mathcal{O}(|E|)$

  • 最后，花费$\Theta (|V|)$，为s不可达顶点$v\in V$，赋值$\delta (s,v)$

  • 因此广度优先查找运行时间是线性的！$\mathcal{O}(|V|+|E|)$

• 从例3图中点s出发，运行广度优先查找