MPC模型预测控制理论与实践

一、基本概念

最有控制的动机是在约束条件下达到最优的系统表现。

模型预测控制（MPC，Model Predictive Control）是通过模型来预测系统在某一未来时间段内的表现来进行优化控制，多用于数位控制，通常用离散型状态空间表达。主要有三个主要部分构成，1模型；2预测；3控制（做决策）。模型，模型可以是机理模型，也可以是一个基于数据的模型。（例如深度学习训练得到的模型）预测，建立一个模型目的主要是用来做预测。控制（做决策），控制就是需要做出动作了，控制就是采取行动执行动作。

MPC主要有三步：

在k时刻：

1、估计/测量读取当前系统状态；

2、基于 $u_k,u_{k+1},...,u_{k+N}$ 来进行最优化，离散系统代价函数为

$J=\sum_k^{N-1}(E_k^TQE_k+u_k^TRu_k)+E_N^TFE_N$

3、只取 $u_k$ 作为控制输入施加在系统上。

在下一时刻重复以上三步，在下一步进行预测时使用的就是下一步的状态值，即滚动优化控制。

二、理论原理

1、二次规划的一般形式：

$\begin{aligned}\min_x&&q(x)=z^TQz+C^Tz\\s.t.&&a_i^Tz\geq b_i,\quad i\in\tau\end{aligned}$

二次规划问题目前的优化理论提供了较完整的求解方法，可以利用诸多工具进行求解。这里的MPC问题最后能够归结为求解一个二次规划问题，即最小化代价函数。

2、MPC代价函数

对于一个离散系统

$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$

在k时刻进行观测，预测从k到N时刻的状态 $X_k$ 为：

$X_k=\begin{pmatrix}x(k|k)\\x(k+1|k)\\x(k+2|k)\\\cdots\\x(k+N|k)\end{pmatrix}$

输入 $U_k$ 为：

$U_k=\begin{pmatrix}u(k|k)\\u(k+1|k)\\u(k+2|k)\\\cdots\\u(k+N-1|k)\end{pmatrix}$

离散系统的代价函数为：

$J=\sum_{i=0}^{N1}\left(x(k+i|k)\right.^TQx(k+i|k)+u(k+i|k)^TRu(k+i|k))\\ +x(k+N)^TFx(k+N)$

我们需要求解的是系统的输入 $u(k+i|k)$ ，这就需要我们把状态项 $x(k+i|k)$ 给消除掉。可以通过传感器或者状态估计得到系统当前的状态值，利用系统初始条件 $x(k|k)=x_k$ ，以及上述离散状态方程，可以得到所有状态量用输入和初始值表达的形式：

$X_k=\begin{pmatrix}I\\A\\A^2\\\cdots\\A^N\end{pmatrix}x(k)+\begin{pmatrix}0&0&\ldots&0\\B&0&\ldots&0\\AB&B&\ldots&0\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\A^{N-1}B&A^{N-2}B&\ldots&B\end{pmatrix}U_k$

令 $M=\begin{bmatrix} I_{{n\times n}} \\A_{{n\times n}} \\A_{{n\times n}}^2 \\. \\. \\A^N\ \end{bmatrix}$ ， $C=\begin{bmatrix}0&0&...&0\\\vdots&\vdots&...&\vdots\\0&0&&0\\B&0&...&0\\AB&B&...&0\\\vdots&\vdots&\ddots&0\\A^{N-1}B&A^{N-2}B&...&B\end{bmatrix}$ ，则有

${X_k}={Mx_k}+{CU_k}$

代价函数可以化简为：

$\begin{aligned} &J=\sum_{i=0}^{N-1}\left(x(k+i|k)^TQx(k+i|k)\right.+u(k+i|k)^TRu(k+i|k)+x(k+N)^TFx(k+N)) \\ &\left.=\left(\begin{array}{c}x(k|k)\\x(k+1|k)\\x(k+2|k)\\\cdots\\x(k+N|k)\end{array}\right.\right)\left(\begin{array}{ccccc}Q&&&\\&Q&&\\&&Q&\\&&\cdots&\cdots&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\&&&&F\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x(k|k)\\x(k+1|k)\\x(k+2|k)\\\cdots\\\cdots\\x(k+N|k)\end{array}\right)^T \\ &\left.+U_k^T\left(\begin{array}{rrrrr}R&&&&\\&R&&&\\&&R&&\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\&&&&R\end{array}\right.\right)U_k \end{aligned}$

即

$J=X_k^T\overline{Q}X_k+U_k^T\overline{R}U_k$

进一步可以化简为

$J=x{_k}^TGx{_k}+U_k^THU_k+2x{_k}^TEU_k$

其中 $M^T\overline{Q}M=G,M^T\overline{Q}C=E,C^T\overline{Q}C+\overline{R}=H$ 。

该代价函数可以利用二次规划进行优化。

三、代码实践

问题：

1、MPC_Test.m

%% 清屏

clear ; 

close all; 

clc;

%% 加载 optim package,若使用matlab，则注释掉此行

pkg load optim;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% 第一步，定义状态空间矩阵

%% 定义状态矩阵 A, n x n 矩阵

A = [1 0.1; -1 2];

n= size (A,1);

%% 定义输入矩阵 B, n x p 矩阵

B = [ 0.2 1; 0.5 2];

p = size(B,2);

%% 定义Q矩阵，n x n 矩阵

Q=[100 0;0 1];

%% 定义F矩阵，n x n 矩阵

F=[100 0;0 1];

%% 定义R矩阵，p x p 矩阵

R=[1 0 ;0 .1];

%% 定义step数量k

k_steps=100; 

%% 定义矩阵 X_K， n x k 矩 阵

X_K = zeros(n,k_steps);

%% 初始状态变量值， n x 1 向量

X_K(:,1) =[20;-20];

%% 定义输入矩阵 U_K， p x k 矩阵

U_K=zeros(p,k_steps);



%% 定义预测区间K

N=5;

%% Call MPC_Matrices 函数 求得 E,H矩阵 

[E,H]=MPC_Matrices(A,B,Q,R,F,N);



%% 计算每一步的状态变量的值

for k = 1 : k_steps 

%% 求得U_K(:,k)

U_K(:,k) = Prediction(X_K(:,k),E,H,N,p);

%% 计算第k+1步时状态变量的值

X_K(:,k+1)=(A*X_K(:,k)+B*U_K(:,k));

end



%% 绘制状态变量和输入的变化

subplot  (2, 1, 1);

hold;

for i =1 :size (X_K,1)

plot (X_K(i,:));

end

legend("x1","x2")

hold off;

subplot (2, 1, 2);

hold;

for i =1 : size (U_K,1)

plot (U_K(i,:));

end

legend("u1","u2")

2、MPC_Matrices.m


function  [E , H]=MPC_Matrices(A,B,Q,R,F,N)



n=size(A,1);   % A 是 n x n 矩阵, 得到 n

p=size(B,2);   % B 是 n x p 矩阵, 得到 p

%%%%%%%%%%%%

M=[eye(n);zeros(N*n,n)]; % 初始化 M 矩阵. M 矩阵是 (N+1)n x n的， 

                         % 它上面是 n x n 个 "I", 这一步先把下半部

                         % 分写成 0 

C=zeros((N+1)*n,N*p); % 初始化 C 矩阵, 这一步令它有 (N+1)n x NP 个 0

% 定义M 和 C 

tmp=eye(n);  %定义一个n x n 的 I 矩阵

%　更新Ｍ和C

for i=1:N % 循环，i 从 1到 N

    rows =i*n+(1:n); %定义当前行数，从i x n开始，共n行 

    C(rows,:)=[tmp*B,C(rows-n, 1:end-p)]; %将c矩阵填满

    tmp= A*tmp; %每一次将tmp左乘一次A

    M(rows,:)=tmp; %将M矩阵写满

end 



% 定义Q_bar和R_bar

Q_bar = kron(eye(N),Q);

Q_bar = blkdiag(Q_bar,F);

R_bar = kron(eye(N),R); 



% 计算G, E, H

G=M'*Q_bar*M; % G: n x n

E=C'*Q_bar*M; % E: NP x n

H=C'*Q_bar*C+R_bar; % NP x NP 



end

3、Prediction.m


function u_k= Prediction(x_k,E,H,N,p)

U_k = zeros(N*p,1); % NP x 1

U_k = quadprog(H,E*x_k);

u_k = U_k(1:p,1); % 取第一个结果

end

四、应用总结

模型预测控制(Model Predictive Control, MPC)是一种先进的闭环控制算法，它通过建立系统的数学模型，预测未来一定时间内的系统状态，并基于优化算法计算出最优控制信号。MPC具有以下优缺点：

优点：

高精度控制：除了考虑当前系统状态外，还能预测未来一段时间的系统状态，因此可以更精确地控制系统；
鲁棒性强：MPC可以通过修改控制器优化问题的约束来应对外部干扰和不确定性，提高控制系统的鲁棒性；
可处理复杂系统：MPC可以建立各种复杂系统的数学模型，并通过计算机算法进行优化，适用于多变量、非线性系统等；
可满足控制要求：MPC可以将多个控制要求统一优化，因此可以满足多个控制目标同时达到。

缺点：

计算复杂：MPC优化问题通常是一个非凸、非线性的问题，要求大量的计算资源和高效的算法，导致计算复杂度很高；
运行速度慢：由于计算复杂度高，MPC的运行速度相比其他控制算法要慢很多，因此只能应用于响应速度要求不高的稳态控制系统；
受模型误差影响：MPC算法是基于系统模型来进行优化的，因此系统模型误差会直接影响算法控制效果。因此，建立准确的系统模型是MPC算法应用的关键。

MPC主要还是应用在控制领域，在自动驾驶、无人机飞行控制、平衡车的控制、四足控制中有着广泛的应用。MPC这种将优化与控制结合的思想也许可以用在更多领域。

参考资料：

【【MPC模型预测控制器】1_最优化控制和基本概念】 https://www.bilibili.com/video/BV1cL411n7KV/?share_source=copy_web&vd_source=24db73a73cddacddda48febd1ffc28ef

网络资料等。

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