C++面试宝典第1题：爬楼梯

题目

小乐爬楼梯，一次只能上1级或者2级台阶。楼梯一共有n级台阶，请问总共有多少种方法可以爬上楼？

解析

这道题虽然是一道编程题，但实际上更是一道数学题，着重考察应聘者的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。

当楼梯只有1级时，只有1种方法可以上楼。

当楼梯有2级时，有两种方法可以上楼：一次跨1级，或者一次跨2级。

对于大于2级的楼梯，我们可以选择从第n-1级跨1级，或者从第n-2级跨2级。所以，对于n级楼梯的方法数为：f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

这种思考问题的方法就是递归的思想。下面，我们给出了用递归函数求解这道题的示例代码。

#include <iostream>
using namespace std;

unsigned int CalcUpstairsCount(unsigned int uiSteps)
{
    if (uiSteps <= 2)
    {
        return uiSteps;
    }

    return CalcUpstairsCount(uiSteps - 1) + CalcUpstairsCount(uiSteps - 2);
}

int main()
{
    cout << CalcUpstairsCount(0) << endl;
    cout << CalcUpstairsCount(1) << endl;
    cout << CalcUpstairsCount(2) << endl;
    cout << CalcUpstairsCount(3) << endl;
    cout << CalcUpstairsCount(4) << endl;
    cout << CalcUpstairsCount(5) << endl;
    getchar();
    return 0;
}

可以看到，采用递归实现的代码非常简洁。但递归算法也有其缺点：一是递归的层级较多时，可能会导致堆栈溢出；二是递归算法的时间复杂度一般较高，效率较低。具体到本题，因为每次递归都可能产生两种选择，故时间复杂度为O(2^n)。计算n级台阶和n-1级台阶的方法数时，都会去计算n-2级台阶的方法数，从而导致大量的重复计算。

有没有更好的解决问题的方法呢？答案是肯定的，我们可以通过动态规划算法来尝试一下。

我们可以使用一个数组dp来存储每级楼梯的方法数，初始条件为：dp[1] = 1, dp[2] = 2。

对于大于2级的楼梯，我们可以从第n-1级跨1级到达第n级，或者从第n-2级跨2级到达第n级。所以，dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]。

这样，我们可以通过一次遍历，计算出所有楼梯级数的方法数。这种方法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度也为O(n)。下面，我们给出了用动态规划算法求解这道题的示例代码。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

unsigned int CalcUpstairsCount(unsigned int uiSteps)
{
    if (uiSteps <= 2)
    {
        return uiSteps;
    }

    // 为了方便理解，第0个元素未使用
    vector<int> vctCount(uiSteps + 1, 0);
    vctCount[1] = 1;
    vctCount[2] = 2;
    for (unsigned int i = 3; i <= uiSteps; i++)
    {
        vctCount[i] = vctCount[i - 1] + vctCount[i - 2];
    }

    return vctCount[uiSteps];
}

int main()
{
    cout << CalcUpstairsCount(0) << endl;
    cout << CalcUpstairsCount(1) << endl;
    cout << CalcUpstairsCount(2) << endl;
    cout << CalcUpstairsCount(3) << endl;
    cout << CalcUpstairsCount(4) << endl;
    cout << CalcUpstairsCount(5) << endl;
    getchar();
    return 0;
}