【算法专题】二分查找

二分查找

二分查找
- 1. 二分查找
- 2. 在排序数组中查找元素的第一和最后一个位置
- 3. 搜索插入位置
- 4. x 的平方根
- 5. 山脉数组的峰顶索引
- 6. 寻找峰值
- 7. 寻找旋转排序数组中的最小值
- 8. 点名

二分查找

1. 二分查找

题目链接 -> Leetcode -704.二分查找

Leetcode -704.二分查找

题目：给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 - 1。

示例 1:
输入: nums = [-1, 0, 3, 5, 9, 12], target = 9
输出 : 4
解释 : 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2 :
输入 : nums = [-1, 0, 3, 5, 9, 12], target = 2
输出 : -1
解释 : 2 不存在 nums 中因此返回 - 1

提示：
你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
n 将在[1, 10000]之间。
nums 的每个元素都将在[-9999, 9999]之间。

思路：

定义 left ， right 指针，分别指向数组的左右区间。
找到待查找区间的中间点 mid ，找到之后分三种情况讨论：

arr[mid] == target 说明正好找到，返回 mid 的值；
arr[mid] > target 说明 [mid, right] 这段区间都是大于 target 的，因此舍去右边区间，在左边 [left, mid -1] 的区间继续查找，即让 right = mid - 1 ，然后重复 2 过程；
arr[mid] < target 说明 [left, mid] 这段区间的值都是小于 target 的，因此舍去左边区间，在右边 [mid + 1, right] 区间继续查找，即让 left = mid + 1 ，然后重复 2 过程；

当 left 与 right 错开时，说明整个区间都没有这个数，返回 -1 。

代码如下：

		class Solution {
		public:
		    int search(vector<int>& nums, int target)
		    {
		        int left = 0, right = nums.size() - 1;
		        while (left <= right)
		        {
		            int mid = left + (right - left) / 2;  // 防止溢出
		            if (nums[mid] > target) right = mid - 1; // 中间数比 target 大，改变右指针
		            else if (nums[mid] < target) left = mid + 1; // 中间数比 target 小，改变左指针
		            else return mid; // 找到返回下标
		        }
		        return -1;
		    }
		};

2. 在排序数组中查找元素的第一和最后一个位置

题目链接 -> Leetcode -34.在排序数组中查找元素的第一和最后一个位置

Leetcode -34.在排序数组中查找元素的第一和最后一个位置

题目：给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回[-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：
输入：nums = [5, 7, 7, 8, 8, 10], target = 8
输出：[3, 4]

示例 2：
输入：nums = [5, 7, 7, 8, 8, 10], target = 6
输出：[-1, -1]

示例 3：
输入：nums = [], target = 0
输出：[-1, -1]

提示：

0 <= nums.length <= 10^5
10^9 <= nums[i] <= 10^9
nums 是一个非递减数组
10^9 <= target <= 10^9

思路：二分思想，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间一分为二，然后舍去其中一个区间，然后再另一个区间内查找；为了方便叙述，用 x 表示该元素， resLeft 表示左边界， resRight 表示右边界；

寻找左边界思路：
我们注意到以左边界划分的两个区间的特点：

左边区间 [left, resLeft - 1] 都是小于 x 的；
右边区间（包括左边界） [resLeft, right] 都是大于等于 x 的；

因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下面两种情况：

当我们的 mid 落在 [left, resLeft - 1] 区间的时候，也就是 arr[mid] < target 。说明 [left, mid] 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid + 1 的位置，继续在 [mid + 1, right] 上寻找左边界；
当 mid 落在 [resLeft， right] 的区间的时候，也就是 arr[mid] >= target 。说明 [mid + 1, right] （因为 mid 可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时更新 right 到 mid 的位置，继续在 [left, mid] 上寻找左边界；

注意：这里找中间元素需要向下取整。因为后续移动左右指针的时候：

左指针： left = mid + 1 ，是会向后移动的，因此区间是会缩小的；
右指针： right = mid ，可能会原地踏步（比如：如果向上取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1 ， right == 2 ， mid == 2 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷入死循环）。因此一定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。

同理大家可以尝试分析寻找右边界的思路。

代码如下：

		class Solution {
		public:
		    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target)
		    {
		        if (nums.size() == 0) return { -1, -1 };
		
		        int left = 0, right = nums.size() - 1;
		        int begin = -1;
		
		        // 寻找左端点
		        while (left < right)
		        {
		            // 当元素个数为偶数个时，取左边的为中间元素，因为要找的是左边界
		            int mid = left + (right - left) / 2;  
		            if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
		            else right = mid;
		        }
		        if (target == nums[left]) begin = left;
		        else return { -1, -1 };
		
		        left = 0, right = nums.size() - 1;
		        // 寻找右端点
		        while (left < right)
		        {
		            // 当元素个数为偶数个时，取右边的为中间元素，因为要找的是右边界
		            // 或者当更新 right / left 时出现 -1 取mid的时候就要+1
		            int mid = left + (right - left + 1) / 2;  
		            if (nums[mid] > target) right = mid - 1;
		            else left = mid;
		        }
		        return { begin, right };
		    }
		};

3. 搜索插入位置

题目链接 -> Leetcode -35.搜索插入位置

Leetcode -35.搜索插入位置

题目：给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

示例 1:
输入: nums = [1, 3, 5, 6], target = 5
输出 : 2

示例 2 :
输入 : nums = [1, 3, 5, 6], target = 2
输出 : 1

示例 3 :
输入 : nums = [1, 3, 5, 6], target = 7
输出 : 4

提示 :

1 <= nums.length <= 10^4
10^4 <= nums[i] <= 10^4
nums 为无重复元素的升序排列数组
10^4 <= target <= 10^4

思路与上题思路类似，寻找目标值的左边界即可。

代码如下：

		class Solution {
		public:
		    int searchInsert(vector<int>& nums, int target)
		    {
		        // 如果插入的位置在最后
		        if (nums[nums.size() - 1] < target) return nums.size();
		
		        int left = 0, right = nums.size() - 1;
		
		        // 二分查找找左边界
		        while (left < right)
		        {
		            int mid = left + (right - left) / 2;
		            if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
		            else right = mid;
		        }
		        return left;
		    }
		};

4. x 的平方根

题目链接 -> Leetcode -69.x 的平方根

Leetcode -69.x 的平方根

题目：给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的算术平方根。

由于返回类型是整数，结果只保留整数部分，小数部分将被舍去。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x** 0.5 。

示例 1：
输入：x = 4
输出：2

示例 2：
输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

提示：
0 <= x <= 2^31 - 1

思路也和上题类似，寻找右边界即可；

代码如下：

		class Solution {
		public:
		    int mySqrt(int x)
		    {
		        // long long 防止溢出
		        long long left = 0, right = x;
		
		        // 二分查找寻找右边界
		        while (left < right)
		        {
		            long long mid = left + (right - left + 1) / 2;
		            if (mid * mid > x) right = mid - 1;
		            else left = mid;
		        }
		        return left;
		    }
		};

5. 山脉数组的峰顶索引

题目链接 -> Leetcode -825.山脉数组的峰顶索引

Leetcode -825.山脉数组的峰顶索引

题目：符合下列属性的数组 arr 称为山脉数组：
arr.length >= 3
存在 i（0 < i < arr.length - 1）使得：
arr[0] < arr[1] < … arr[i - 1] < arr[i]
arr[i] > arr[i + 1] > … > arr[arr.length - 1]
给你由整数组成的山脉数组 arr ，返回满足 arr[0] < arr[1] < … arr[i - 1] < arr[i] > arr[i + 1] > … > arr[arr.length - 1] 的下标 i 。
你必须设计并实现时间复杂度为 O(log(n)) 的解决方案。

示例 1：
输入：arr = [0, 1, 0]
输出：1

示例 2：
输入：arr = [0, 2, 1, 0]
输出：1

示例 3：
输入：arr = [0, 10, 5, 2]
输出：1

提示：
3 <= arr.length <= 10^5
0 <= arr[i] <= 10^6
题目数据保证 arr 是一个山脉数组

思路：

分析峰顶位置的数据特点，以及山峰两旁的数据的特点：

峰顶数据特点： arr[i] > arr[i - 1] && arr[i] > arr[i + 1] ；
峰顶左边的数据特点： arr[i] > arr[i - 1] && arr[i] < arr[i + 1] ，也就是呈现上升趋势；
峰顶右边数据的特点： arr[i] < arr[i - 1] && arr[i] > arr[i + 1] ，也就是呈现下降趋势。

因此，根据 mid 位置的信息，我们可以分为下面三种情况：

如果 mid 位置呈现上升趋势，说明我们接下来要在 [mid + 1, right] 区间继续搜索；
如果 mid 位置呈现下降趋势，说明我们接下来要在 [left, mid - 1] 区间搜索；
如果 mid 位置就是山峰，直接返回结果。

代码如下：

		class Solution {
		public:
		    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) 
		    {
		        int left = 0,right = arr.size() - 1;
		        // 符合二段性，就可以用二分查找
		        while(left < right)
		        {
		            int mid = left + (right - left + 1)/2;
		            if(arr[mid] > arr[mid - 1]) left = mid;
		            else right = mid - 1;
		        }
		        return left;
		    }
		};

6. 寻找峰值

题目链接 -> Leetcode -162.寻找峰值

Leetcode -162.寻找峰值

题目：峰值元素是指其值严格大于左右相邻值的元素。

给你一个整数数组 nums，找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回任何一个峰值所在位置即可。

你可以假设 nums[-1] = nums[n] = -∞ 。

你必须实现时间复杂度为 O(log n) 的算法来解决此问题。

示例 1：
输入：nums = [1, 2, 3, 1]
输出：2
解释：3 是峰值元素，你的函数应该返回其索引 2。

示例 2：
输入：nums = [1, 2, 1, 3, 5, 6, 4]
输出：1 或 5
解释：你的函数可以返回索引 1，其峰值元素为 2；
或者返回索引 5，其峰值元素为 6。

提示：

1 <= nums.length <= 1000
2^31 <= nums[i] <= 2^31 - 1
对于所有有效的 i 都有 nums[i] != nums[i + 1]

思路：寻找二段性：
任取⼀个点 i ，与下一个点 i + 1 ，会有如下两种情况：

arr[i] > arr[i + 1] ：此时「左侧区域」一定会存在山峰（因为最左侧是负无穷，但此时还没有下降趋势），那么我们可以去左侧去寻找结果；
arr[i] < arr[i + 1] ：此时「右侧区域」一定会存在山峰（因为最右侧是负无穷，但此时还没有下降趋势），那么我们可以去右侧去寻找结果。

当我们找到「二段性」的时候，就可以尝试用「二分查找」算法来解决问题。

代码如下：

		class Solution {
		public:
		    int findPeakElement(vector<int>& nums) 
		    {
		        int left = 0, right = nums.size() - 1;
		        // 符合二段性，可以用二分查找
		        while(left < right)
		        {
		            int mid = left + (right - left)/2;
		            if(nums[mid] > nums[mid + 1]) right = mid;
		            else left = mid + 1;
		        }
		        return left;
		    }
		};

7. 寻找旋转排序数组中的最小值

题目链接 -> Leetcode -153.寻找旋转排序数组中的最小值

Leetcode -153.寻找旋转排序数组中的最小值

题目：已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次旋转后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0, 1, 2, 4, 5, 6, 7] 在变化后可能得到：
若旋转 4 次，则可以得到[4, 5, 6, 7, 0, 1, 2]
若旋转 7 次，则可以得到[0, 1, 2, 4, 5, 6, 7]
注意，数组[a[0], a[1], a[2], …, a[n - 1]] 旋转一次的结果为数组[a[n - 1], a[0], a[1], a[2], …, a[n - 2]] 。

给你一个元素值互不相同的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的最小元素。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：
输入：nums = [3, 4, 5, 1, 2]
输出：1
解释：原数组为[1, 2, 3, 4, 5] ，旋转 3 次得到输入数组。

示例 2：
输入：nums = [4, 5, 6, 7, 0, 1, 2]
输出：0
解释：原数组为[0, 1, 2, 4, 5, 6, 7] ，旋转 4 次得到输入数组。

示例 3：
输入：nums = [11, 13, 15, 17]
输出：11
解释：原数组为[11, 13, 15, 17] ，旋转 4 次得到输入数组。

提示：

n == nums.length
1 <= n <= 5000
5000 <= nums[i] <= 5000
nums 中的所有整数互不相同
nums 原来是一个升序排序的数组，并进行了 1 至 n 次旋转

思路：题目中的数组规则如下图所示：

在这里插入图片描述

其中 C 点就是我们要求的点。
二分的本质：找到一个判断标准，使得查找区间能够一分为二。
通过图像我们可以发现， [A，B] 区间内的点都是严格大于 D 点的值的， C 点的值是严格小于 D 点的值的。但是当 [C，D] 区间只有一个元素的时候， C 点的值是可能等于 D 点的值的。

因此，初始化左右两个指针 left ， right ：
然后根据 mid 的落点，我们可以这样划分下一次查询的区间：

当 mid 在 [A，B] 区间的时候，也就是 mid 位置的值严格大于 D 点的值，下一次查询区间在 [mid + 1，right] 上；
当 mid 在 [C，D] 区间的时候，也就是 mid 位置的值严格小于等于 D 点的值，下次查询区间在 [left，mid] 上。

当区间长度变成 1 的时候，就是我们要找的结果。

代码如下：

		class Solution {
		public:
		    int findMin(vector<int>& nums) 
		    {
		        int left = 0, right = nums.size() - 1;
		        while(left < right)
		        {
		            // 以最右边的元素为目标进行比较
		            int mid = left + (right - left )/2;
		            if(nums[mid] > nums[nums.size() - 1]) left = mid + 1;
		            else right = mid;
		        }
		        return nums[left];
		    }
		};

8. 点名

题目链接 -> Leetcode -LCR 173.点名

Leetcode -LCR 173.点名

题目：某班级 n 位同学的学号为 0 ~n - 1。点名结果记录于升序数组 records。假定仅有一位同学缺席，请返回他的学号。

示例 1:
输入: records = [0, 1, 2, 3, 5]
输出 : 4

示例 2 :
输入 : records = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8]
输出 : 7

提示：
1 <= records.length <= 10000

思路是以数组下标为目标对象进行比较，寻找左边界即可；

代码如下：

		class Solution {
		public:
		    int missingNumber(vector<int>& nums) 
		    {
		        int left = 0, right = nums.size() - 1;
		        while(left < right)
		        {
		            // 以数组下标为目标对象进行比较
		            int mid = left + (right - left)/2;
		            if(nums[mid] > mid) right = mid;
		            else left = mid + 1;
		        }
		        return left == nums[left]? left + 1 : left;
		    }
		};