【动态规划】LeetCode-62.不同路径

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题目

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？

执行示例

示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1.向右 -> 向下 -> 向下
2.向下 -> 向下 -> 向右
3.向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * $10^9$

题解

以示例1为例，因为机器人只能向右或向下移动，因而到达第0行和第0列各个方格的方法数均为1。而到达map[i][j]的方法数等于map[i-1][j]+map[i][j-1]，即当前方格同一列的上一行方法数+当前方格同一行的前一列方法数加和。因为可以从上面一个方格向下走1步到达当前方格，也可以从左侧方格走1步到达当前方格。如下图所示，通过不断执行map[i][j]=map[i-1][j]+map[i][j-1]，最终map[m-1][n-1]中将保存到达右下角方格的方法数。
在这里插入图片描述
从而我们可以得到如下代码↓↓↓

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>>map(m,vector<int>(n));
        //将第0行初始化为1
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            map[0][i] = 1;
        }
        //将第0列初始化为1
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            map[i][0] = 1;
        }
        for(int i = 1; i < m; i++)
        {
            for(int j = 1; j < n; j++)
            {
                map[i][j]=map[i-1][j]+map[i][j-1];
            }
        }
        return map[m-1][n-1];
    }
};

这里我们使用了两次循环去初始化第0行和第0列，我们可以通过多开辟一行一列，并将map[0][1]初始化为1，这时，我们就不再需要初始化第1行第1列。而我们的结果保存在map[m][n]。
ps：这个方法很巧妙，就是不大好描述。大家看一下下方代码，大脑运行一下。↓↓↓

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>>map(m + 1, vector<int>(n + 1));
        map[0][1] = 1;
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                map[i][j] = map[i - 1][j] + map[i][j - 1];
        return map[m][n];
    }
};